老師們熱烈討論的一道題目，題目不難，看似普通，卻妙處無窮?，F(xiàn)將各位老師提及的方法及自己的思考總結(jié)如下，以饗讀者。
先用一句話概括此題：此題只應(yīng)天上有，人間能有幾回聞！
試題呈現(xiàn)：
如圖，正方形ABCD的邊長是6，其中，CE=2，CF⊥BE，求OF的長。
首先此題不難推出：
勾股定理可求BE=2倍根號(hào)10
等面積法可求CF=3/5倍根號(hào)10
△BFC~△BCE可以得到BF的長度（也可以用設(shè)x用勾股定理求；射影定理求；三角函數(shù)求）為9/5倍根號(hào)10
∠BOC=90°，∠BCO=45°，tan∠CBE=1/3
已知這些結(jié)論又該如何求解OF的長。那么現(xiàn)在就讓我們從不同視角去尋找解法。
思考視角一：旋轉(zhuǎn)
如圖，此圖形存在等腰，那我們旋轉(zhuǎn)看一看。
很明顯，此圖為手拉手模型，
先說怎么作輔助線：
用旋轉(zhuǎn)的眼光去想，但是寫時(shí)得用推理的語言寫：在BF上取一點(diǎn)F’使BF’=CF，
再說怎么求解：
由8字導(dǎo)角可得∠OBF’=OCF,再利用邊等即可得圖中兩個(gè)陰影三角形全等，進(jìn)一步可推△OFF’為等腰直角三角形，剩下的就是求解FF’的長度了。
利用FF’= BF-BF’=BF-CF即可得到答案
最后利用等腰直角三角形三邊之比或者設(shè)x用勾股定理也可求解OF=
從旋轉(zhuǎn)視角出發(fā)，還可以
繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：
解答過程與上相同。
繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)：
此題利用一轉(zhuǎn)成雙，兩對(duì)相似三角形可以求得OF
繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：
思考視角二：四點(diǎn)共圓
四邊形BOFC存在兩個(gè)直角，可以想想是否四點(diǎn)共圓。如圖，將四個(gè)點(diǎn)放到圓內(nèi)，這樣就變成了圓相關(guān)問題了，利用圓相關(guān)定理就能解決OF的長（記得北京孫老師首先想到此方法）
利用圓周角定理和垂徑定理可以知道∠OBF=∠HGF,易知OG=FG=1/2BC，那么在Rt△HGF中，只要知道∠HGF的三角函數(shù)值，再列方程即可求解。
求解∠OBF的三角函數(shù)值有很多方法：
方法1：利用8字型BOHCF存在相似可以求解
方法2：利用12345模型可以秒出（參見下篇）
四點(diǎn)共圓還可以幫助解決旋轉(zhuǎn)方法里所涉及的導(dǎo)角。
思考視角三：弦圖
這是一個(gè)正方形，內(nèi)部的折線還存在直角，那有沒有可能考察弦圖，可以試著畫一畫：
可以畫出一個(gè)完美的弦圖，為了更直觀研究這個(gè)圖形，我們給添上顏色：
從圖中易證周圍是4個(gè)全等的直角三角形。利用A字相似即可求解里面小正方形的邊長，然后再求小正方形對(duì)角線即可得到答案。
當(dāng)然此題也可用簡化的弦圖求解，也就是十字架模型，如圖：
從這里由△BCE全等于△CGD得到CG的長，然后導(dǎo)多次相似，最后得到△HOF∽△HCB，進(jìn)而就可以求解OF。
此方法過程比較繁瑣，不過如果知道123模型，此題也可快速出答案。（123模型參見下篇）
思考視角四：相似或三角比
此題里面有很多相等的角，可不可以從相似的角度去思考呢？
如圖
圖中其實(shí)存在天然的相似，△BOF∽△BED，這個(gè)相似不容易看出來，它是一個(gè)反A字相似，（看反A和母子型，需要用旋轉(zhuǎn)加位似的眼光來看）
只需要證明∠BFO=∠BDC=45°，證明方法：
由四點(diǎn)共圓可知；或者由兩次8字導(dǎo)角可知；按照旋轉(zhuǎn)的方法也可知道
除了這樣，題中其實(shí)還存在天然的相似：
從圖中容易得到△BOG∽△CFG, △BGC∽△OGF, 其中CF和OB的長度都是容易得到的，也就是相似比容易得到，這樣OF的長度就可輕松求解。
此題用相似來解，關(guān)鍵就是導(dǎo)角導(dǎo)邊，既然導(dǎo)角導(dǎo)邊，那可不可以用強(qiáng)大的導(dǎo)角導(dǎo)邊工具-三角函數(shù)來解決呢？如圖作輔助線，
利用等腰直角三角形DIE，直角三角形BIE，直角三角形BHO，直角三角形OHG多次導(dǎo)角導(dǎo)比，即可求解。
在這里，段廣猛老師提到要有一種大平面觀的意識(shí)：整個(gè)平面內(nèi)，只要角等就可以比等，比確定后，只要確定一邊，就可確定另一邊，這樣不僅邊與邊緊密相關(guān)，而且邊與角也緊密相關(guān)，從而整個(gè)平面就融為一體。
思考視角五：構(gòu)直角三角形
這題可以構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解嗎？
如圖：
通過導(dǎo)角導(dǎo)邊可知△OGF為等腰直角三角形，后面OF就好求了。
如圖作GF⊥OC也是可以利用勾股定理求解。
鄭州于老師提出如圖作輔助線方法，方法是一邊一角一垂線，靈感來源是佛經(jīng)里說的一花一葉一菩提，其中利用∠CFO=135°，然后設(shè)X求解。此法令人印象深刻。
更令人驚奇的是，于老師還提到此題可用高中學(xué)習(xí)的余弦定理。詳細(xì)參見下篇。
我們想了各種作輔助線的方法，其實(shí)能不能用最原始的方法呢？這里要求的OF是一條傾斜的線，那我把它放到一個(gè)橫平豎直的直角三角形里是不是可求，也就是我作一些橫平豎直的輔助線，如圖：
利用直角三角形FLC可求FL和LC，然后再利用矩形FLKJ可知JK，最后利用直角三角形OJF可求OF
突然有一點(diǎn)大工不巧的感覺，前面想了這么多神奇的輔助線，其實(shí)用最簡單的輔助線也可以解決。
思考視角六：面積視角
如下圖，可以取BC中點(diǎn)G,然后得到斜邊中線，接著求證DF=OD,OG=FG
得到DG為中垂線，然后利用△OGC的面積等于△OGD的面積（等積轉(zhuǎn)換），而△OGD的面積可以用OJ*GD除以2表示（等面積法）即可算出OJ
進(jìn)而OF即可求。
這里的解法涉及到了面積，其實(shí)除了這樣還有一種鬼斧神工的面積法，
王老師說一眼看出OG=CF，為什么呢？
因?yàn)椤鰾EC面積=△ODE面積=△BOE面積，這是由等高等底定理得到。
這樣推出OG=CF，后面利用導(dǎo)角即可求解。
不得不說，有人就是有火眼金睛，天生直覺能力強(qiáng)。
思考視角七：造K字
作為改斜歸正思想中的一種威力無窮的方法，這題可以用K字解決嗎？
見直角可造K字，如上圖兩個(gè)綠色三角形為K字全等，這里不僅有一個(gè)K字全等，還有一對(duì)K字相似，如下圖：
利用這兩個(gè)K字，列方程即可求解。
點(diǎn)評(píng)：此法比較難以想到，不過計(jì)算量并不大，設(shè)x列方程會(huì)是一個(gè)一元一次方程。此法的使用說明的不是此法厲害，而是此題厲害，一道簡單的題目既然包括如此多的方法，可謂包羅萬象，氣象萬千。
思考視角八：坐標(biāo)法
此類題目，當(dāng)然可以采取簡單直接的坐標(biāo)方法解決
如圖，利用垂直直線的比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，可以求出CF解析式，然后聯(lián)立CF和BE解析式可以求出點(diǎn)F坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)距離公式可以求解出OF長度。
當(dāng)然其實(shí)在算CF解析式也可以避免使用比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，如圖：
利用十字架模型，可以比較快速地得到CF解析式。
這種建系法在解決中考幾何填空題往往能起到絕境逢生的作用，不需要太多的幾何構(gòu)造思維，不過解決的題型比較有限，另外部分知識(shí)可能已經(jīng)超綱，而且大量計(jì)算也是此法的一個(gè)弱點(diǎn)。
至此，此題解法對(duì)于一般初中生可以接受的思路方法就結(jié)束了。但是解題還沒有結(jié)束，如果我們站在更高角度，能不能總結(jié)出此題所涉及的更高階的通性通法？
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