(解題部分)
□ □ □
＋ □ □ □
1 6 9 9
（考試時(shí)間：120分 總分：100分）
一、填空。(每題2分，共30分)
1. 右邊算式中的六張小紙片各蓋住了一個(gè)數(shù)字，被蓋住的六個(gè)
數(shù)字的和是( 34 )。
分析：個(gè)位兩個(gè)數(shù)字之和是9，十位兩個(gè)數(shù)字之和是9，百位兩個(gè)數(shù)字之和是16，總和是9＋9＋16=34。需要注意的是，兩個(gè)數(shù)字相加和數(shù)最大是18，如果這道題和數(shù)個(gè)位上數(shù)字是8或更小的話，那個(gè)位兩數(shù)字的和就有兩種可能了，因而和數(shù)就會(huì)呈現(xiàn)多樣。如果和數(shù)是1698，那數(shù)字總和可能是16＋9＋8=33，16＋8＋18=42或15＋18＋18=51.
2. 先找規(guī)律，再填數(shù)。
(1)2，6，18，54，( 162 )，( 486 )。
(2)4，8，10，20，22，( 44 )，( 46 )。
(3)(48，24)，(44，26)，(40，28)，(36， 30 )，( 28 ，34)。
分析：第(1)題，后面數(shù)都是前面數(shù)的3倍，因而54后面填54×3=162，162后面填162×3=486。第(2)題，從第二個(gè)數(shù)開始，依次是乘2，加2，再乘2，加2，即有4×2=8，8＋2=10，10×2=20，20＋2=22，所以22后面應(yīng)該是22×2=44和44＋2=46。第(3)題，把每個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)看作一組，比較每組中相同位置上數(shù)，有48－44=4，26－24=2，即前面數(shù)減4，后面數(shù)加2，同樣，44－40=4，28－26=2，也滿足這一規(guī)律。因此，當(dāng)前面數(shù)由40－36少了4后，后面數(shù)應(yīng)該由28＋2=30，而30到34加了4，因此，這時(shí)前面數(shù)應(yīng)該減兩個(gè)4，即用36-4×2=28。
3. 有15把鎖的鑰匙給搞混亂了，至少要配( 105 )次才能使每把鑰匙都配上鎖。
分析：可以這樣思考：先用15把鑰匙去開第1把鎖，如果前14次都不能打開，那第15把鑰匙肯定是這把鎖的，也就是說，這時(shí)最多要試14次；這樣就只剩下14把鑰匙14把鎖了，同樣用14把鑰匙去開第2把鎖，如果前13次都不能打開，那第14把鑰匙肯定是開這把鎖的，也就是說，這時(shí)最多要試13次，依此類推，我們很容易得出這道題，一共需要試的次數(shù)為14＋13＋12＋11＋…＋1=（1＋14）×14÷2=105（次）。
需要注意的是，這道題講的是配匙，而沒有提開鎖，如果是開鎖，那不僅要把鑰匙配上，還要打開，因此，還要多15次嘗試，這樣一共就需要105＋15=120（次）了。
4.《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題：“今有屋基，南北三丈，東西六丈，欲以磚砌之。凡積二尺，用磚五枚，問計(jì)幾何？”算一算，砌好這一屋基，一共需要磚頭( 4500 )枚。
分析：這道題比較難理解的是“凡積二尺”，這兒的“凡積二尺”指的是2平方尺那么大的地方，需要說明的是，古人的面積單位，體積單位和長(zhǎng)度單位是不分的，這可能是讓大家最感困惑的地方，因此，這道題可以這樣列式：（3×10）×（6×10）÷2×5=4500枚。
5. 在題中適當(dāng)位置只添加、減號(hào)，使等式成立。
(1) 1 2 3 4 5 6 7 8 ＝ 45
(2) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ＝ 70
分析：這道題要借助于和差方法來解，第(1)題，左邊所有數(shù)字和為（1＋8）×8÷2=36，比45小，因此要有數(shù)連用，如果取12連用，則左邊和數(shù)就會(huì)增加9，36＋9=45，正好等于右邊，這時(shí)就不需要添加減號(hào)了，有解12＋3＋4＋5＋6＋7＋8=45；如果取34連用，則左邊數(shù)之和就是3×9＋36=63，比45大18，因此，減去數(shù)的和就是18÷2=9，而9=2＋7，有解1－2＋34＋5＋6－7＋8=45。第(2)題，左邊數(shù)字和為45，比70小得多，顯得得有數(shù)連用，如果取54連用，則左側(cè)數(shù)之和變成5×9＋45=90，比70多20，因此，這時(shí)減去數(shù)的和是20÷2=10，而10可以表示成8＋2或7＋3，因此，這時(shí)有解9－8＋7＋6＋54＋3－2＋1=70或9＋8－7＋6＋54－3＋2＋1=70.當(dāng)然，這道題也可以取32連用，這時(shí)左側(cè)數(shù)之和為3×9＋45=72，比70多2，因此減去數(shù)就是2÷2=1，即有解9＋8＋7＋6＋5＋4＋32－1=70.
6. 甲、乙、丙、丁四人共有畫片100張，如果把甲的張數(shù)加4，乙的張數(shù)減4，丙的張數(shù)乘4，丁的張數(shù)除以4，那四個(gè)人的張數(shù)就一樣多了。甲原有畫片( 12 )張，丁原有畫片( 64 )張。
分析：這道題可以采用假設(shè)法來思考。先假設(shè)下面等式結(jié)果等于4，這時(shí)甲乙丙丁之和是25，而畫片總張數(shù)100正好是25的4倍，因此，等式的正確結(jié)果應(yīng)該是4的4倍，是16，再利用等式結(jié)果為16，推導(dǎo)出甲和丁原有畫片的張數(shù)。過程可簡(jiǎn)單列舉如下：
甲＋4=乙－4=丙×4=丁÷4 =4
0 8 1 16 和數(shù)為25，而100÷25=4，故正確結(jié)果為4×4=16
甲：16－4=12 ?。?6×4=64
6
5 2
甲 乙 丙
7. 甲乙丙三人一共有畫片135張。如果甲給乙5張，乙給丙2張，丙給甲6張，那么三人畫片的張數(shù)就一樣多了。甲原有畫片( 44 )張，丙原有畫片( 49 )張。
分析：這道題可以借助于流程圖來分析。由變化后，三人畫片同樣多，可以知道，這時(shí)每人有畫片135÷3=45（張），從圖中可以看出，甲送出5張，拿回6張，因此，他原有的張數(shù)應(yīng)該是45＋5－6=44（張），丙原有的張數(shù)是45－2＋6=49（張）。
8. “冰雹”猜想是數(shù)論中的一個(gè)有名的猜想。其內(nèi)容是：任意取定一個(gè)自然數(shù)，按下列兩條規(guī)則做下去，就可以使這個(gè)自然數(shù)變?yōu)?。規(guī)則是這樣的：(1)當(dāng)取定的自然數(shù)或變化后的自然數(shù)為奇數(shù)時(shí)，下一步將它乘3，再加上1；(2)當(dāng)取定的自然數(shù)或變化后的自然數(shù)為偶數(shù)時(shí)，下一步將它除以2.比如說12這個(gè)自然數(shù)按上面規(guī)則進(jìn)行計(jì)算有：12→6→3→10→5→16→8→4→2→1，經(jīng)過9次變化，12最終變成了1。算一算，自然數(shù)18按上面規(guī)則計(jì)算，經(jīng)過( 20 )次變化后最終變成1。
分析：可以根據(jù)上面提及的規(guī)律進(jìn)行列舉，18→9→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。這樣，一共要經(jīng)過20次變化。當(dāng)然，也可以只列舉到10就可以了，因?yàn)樯厦媪信e的式子中有從10推算到1需要的步數(shù)。兩次相加即可。
9. 明明要爬15級(jí)臺(tái)階，如果每次可以爬1級(jí)或2級(jí)，他爬完這些臺(tái)階一共有( 987 )
種不同的爬法。
分析：這道題需要借助于列表來處理比較清晰。在列舉時(shí)，注意從第3級(jí)開始，爬臺(tái)階的種數(shù)是前兩階種數(shù)之和。表格如下：
級(jí)數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
種數(shù)
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
10.從1至600的自然數(shù)中，不含數(shù)字4的自然數(shù)有( 405 )個(gè)。
分析：我們可以把一位數(shù)前添加兩個(gè)0，比如說004，兩位數(shù)前添加1個(gè)0，如075；這樣所有的1至600的自然數(shù)都可以看作是三位數(shù)了。其中百位可以是0、1、2、3、5，一共有5種填法，而十位與個(gè)位都有除4以外的9種不同填法，因此，一共有5×9×9=405種，其中000這個(gè)數(shù)不在規(guī)定范圍內(nèi)，可以用600來代替，這樣，我們就得到了不含數(shù)字4的自然數(shù)的個(gè)數(shù)為405個(gè)。
當(dāng)然，我們也可以變換一個(gè)角度，先考慮含有4的自然數(shù)。個(gè)位是4的有4、14、24、34、44、54、64、74、84、94這10種，考慮到百位數(shù)字還可以是1、2、3、5，因此這時(shí)一共有5×10=50種，再考慮十位4，有40、41、42、43、44、45、46、47、48、49這10種，但44與個(gè)位4出現(xiàn)重復(fù)，故而不作考慮，同樣這時(shí)百位數(shù)字還可以是1、2、3、5，因此，這兒又有5×9=45種含有4的自然數(shù)。由于上面沒有考慮百位是4的情況，因而還必須加上百位是4的100個(gè)數(shù)，這樣，含有數(shù)字4的自然數(shù)一共有50＋45＋100=195個(gè)，不含有數(shù)字4的自然數(shù)就有600－195=405個(gè)。
11.把19分拆成若干個(gè)自然數(shù)，使這些自然數(shù)的乘積為最大，這個(gè)最大的乘積是( 972 )。
分析：要使分拆后的自然數(shù)的乘積最大，就要在分拆時(shí)注意多用3，少用2，不用1.而19÷3=6……1，故而分拆為5個(gè)3，再把余下的4分拆成兩個(gè)2，這樣就得到最大的乘積是3×3×3×3×3×2×2=972.
12.把1～9這九個(gè)數(shù)字填入□內(nèi)，每個(gè)數(shù)字只用一次，使下面的等式成立。
□□÷□＝□□÷□＝□□÷□
分析：這道題需要借助于不變的商來思考，由于商數(shù)等于1、2、3都不可能，那我們不妨從商數(shù)是9考慮起。然后，利用乘法口訣得出有18÷2=27÷3=36÷4=45÷5=54÷6=63÷7=72÷8=81÷9，這當(dāng)中，45÷5肯定不合題意，先行舍去。再看剩下式子中，數(shù)字9只出現(xiàn)一次，如果有解，肯定得保留，這樣，其它含有1、8、9的式子象18÷2，72÷8都必須舍去。這時(shí)剩下的另四個(gè)式子中，只有54÷6出現(xiàn)了數(shù)字5，因此也必須保留，舍去含有6的36÷4和63÷7后，剩下的27÷3恰好用到了余下的三個(gè)數(shù)字，所以這道題有解:27÷3=54÷6=81÷9.
這道題當(dāng)商數(shù)為7時(shí)還有一解，老師們不妨推導(dǎo)著看看。
13.如果規(guī)定：5☆2＝5＋55，1☆4＝1＋11＋111＋1111。那么2☆5＝( 24690 )。
分析：這種題目又稱作新定義運(yùn)算。這道題中給運(yùn)算新下的定義為：五角星前面的數(shù)為后面算式中出現(xiàn)的基本數(shù)字，而五角星后面的數(shù)為這個(gè)基本數(shù)字從一位數(shù)、兩位數(shù)……依次相加的個(gè)數(shù)，故而2☆5的基本數(shù)字是2，要用2＋22＋222＋2222＋22222這樣五個(gè)數(shù)相加，故而得到這道題的得數(shù)是24690。
14.口袋里裝有42個(gè)紅球，15個(gè)黃球，20個(gè)綠球，14個(gè)白球，9個(gè)黑球。那么至少要摸出( 66 )個(gè)球才能保證其中有15個(gè)球的顏色是相同的。
分析：要保證有15個(gè)球的顏色相同，最不幸運(yùn)的莫過于所有少于15個(gè)球的顏色球都摸到了（象白球和黑球），等于或超過15個(gè)球的都只摸到了14個(gè)，但這時(shí)還是不能保證有15個(gè)球是顏色相同的。不過，再摸一個(gè)的話，肯定有一種球是15個(gè)了。因此，要保證有15個(gè)球顏色相同，就得摸14＋9＋14×3＋1=66個(gè)。
15.五個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形剛好拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形(如右圖)。小長(zhǎng)
方形的長(zhǎng)與寬的比是( 3:2 )，當(dāng)小長(zhǎng)方形長(zhǎng)是12厘米時(shí)，拼成的大長(zhǎng)
方形的面積是( 480 )平方厘米。
分析：從右圖中，很容易看出，兩個(gè)長(zhǎng)等于3個(gè)寬，也就是說，長(zhǎng)與寬的比是3:2，再利用長(zhǎng)12厘米，算出寬是12÷3×2=8厘米，進(jìn)而算出每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是12×8=96平方厘米，大長(zhǎng)方形的面積就是96×5=480平方厘米。
二、選擇。(每題2分，共20分)
1. 有2010個(gè)2連乘(2×2×2×2×……×2×2)，乘積個(gè)位上的數(shù)字是( B )。
A.2 B.4 C.6 D.8
分析：這其實(shí)是個(gè)周期問題，解這種題目的關(guān)鍵在于推算出幾個(gè)數(shù)的連乘積的個(gè)位數(shù)字是1、5或6，因?yàn)椴还軒讉€(gè)1、5或6相乘，乘積的個(gè)位數(shù)字還是1、5或6.在這道題中，2×2×2×2的個(gè)位數(shù)字是6，因此我們把4個(gè)2連成看作一組，2010÷4=502……2，因此，這道題乘積的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是6×2×2的個(gè)位數(shù)字，即是4.
2. 小明上山平均每分走40米，下山平均每分走60米，上下山的平均速度是( A )。
A.48米/分 B.50米/分 C.54米/分 D.無法確定
分析：這道題可以用假設(shè)法來做，也可以用工程問題的方法來解。先說假設(shè)法，假設(shè)山路全長(zhǎng)120米。那么上山用120÷40=3分，下山用120÷60=2分，因此上下山的平均速度就是120×2÷（3+2）=48米。再說工程問題的方法，設(shè)山路全長(zhǎng)為單位1，那么上下山一共用的時(shí)間就是1/40+1/60=1/24，所以他上下山的平均速度就是2÷(1/24)=48米。
3. 用0、3、6、8和小數(shù)點(diǎn)組成小數(shù)（所有數(shù)字都要用到），一共可以組成( C )個(gè)不同的小數(shù)。
A.42 B.54 C.60 D.72
分析：要分兩種情況考慮，一種是0排在最高位，一種是0不排在最高位。先看0排在最高位的，那肯定是三位小數(shù)，可組成6種不同的三位小數(shù)；再看0不排在最高位的，這種情況我們可以先不考慮小數(shù)點(diǎn)，這時(shí)一共有3×3×2=18種不同的排列方法，而每一種排列方法又可以在3個(gè)不同的位置點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，因此，這時(shí)有18×3=54種不同的數(shù)，加上前面的6種，這樣一共有54＋6=60種不同的小數(shù)。
4. 在棱長(zhǎng)為5厘米的正方體表面涂滿紅色，然后把它切成棱長(zhǎng)1厘米的正方體，其中三面紅色的有( B )個(gè)。
A.4 B.8 C.10 D.12
分析：三面紅色的小正方體肯定位于原來正方體的頂點(diǎn)位置，而正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，因此，就有8個(gè)三面紅色的小正方體了。
5. 一個(gè)半圓的半徑為 ，那么，它的周長(zhǎng)是( B )。
A. B. C. D.
分析：半圓的周長(zhǎng)包括半圓弧的長(zhǎng)度和一條直徑的長(zhǎng)度，半圓弧的長(zhǎng)度可以表示成 ，而直徑的長(zhǎng)度可以表示成 ，因此，半圓的周長(zhǎng)就是 + 。而上面四個(gè)選項(xiàng)中，跟它相等的只有B。
6．一根繩子剪成兩段，第一段長(zhǎng) 米，第二段占全長(zhǎng)的 ，哪段長(zhǎng)些? ( B )。
A. 第一段長(zhǎng) B. 第二段長(zhǎng) C. 無法確定 D. 一樣長(zhǎng)
分析：這道題，由后面一個(gè)條件可以知道，第二段占全長(zhǎng)的5/9，那意味著第一段只占全長(zhǎng)的4/9，因此，第二段要比第一段長(zhǎng)些。
7. 新潮服裝店以200元的價(jià)格分別賣出兩套不同的童裝，結(jié)果一套賺了25%，一套虧本了25%，就這兩套服裝的經(jīng)營(yíng)來看，( B )。
A.賺錢了 B.虧本了 C.不虧也不賺 D.無法確定贏利還是虧本
分析：我們先利用題目條件推算這兩件衣服的原價(jià)，一件是200÷(1＋25%)=160元，一件是200÷(1－25%)=266 ，這樣兩件衣服的原價(jià)就是160＋266 =426 元，現(xiàn)在只賣了200×2=400元，自然是虧本了。
8. 五線譜里不同的音符表示不同的時(shí)值，音符( )所表示的時(shí)值是全音符的( )。
A. B. C. D.
分析：這道題考到了教材中的一個(gè)數(shù)學(xué)小知識(shí)，它反映了數(shù)學(xué)與音樂之間的聯(lián)系。這個(gè)知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在六上教材的61頁(yè)，上面圖中的音符是個(gè)四分音符，時(shí)值是全音符的1/4。其實(shí)，數(shù)學(xué)與很多學(xué)科之間都有著密切的聯(lián)系，教材中有許多這樣的小知識(shí)點(diǎn)，希望老師們?cè)诳磿臅r(shí)候也注意理解它們。
9. 學(xué)生連續(xù)計(jì)算15－7－3＝5，48－16－14＝18，70－35－15＝20后，繼續(xù)計(jì)算36－8＋12=？，得出了等于16的錯(cuò)誤結(jié)果，原因是將第四個(gè)算式中的加算成了減，這一錯(cuò)
誤用( )現(xiàn)象解釋最為恰當(dāng)。
A.思維定勢(shì) B.原型啟發(fā) C.正遷移 D.負(fù)遷移
分析：這道題考到了大家對(duì)一些數(shù)學(xué)原理的理解。在整個(gè)考卷中占的份額非常小，肯定在5分之內(nèi)，而且內(nèi)容全部出自09年的學(xué)科素養(yǎng)輔導(dǎo)材料，主要的想法還是想讓大家對(duì)那些跟我們教育教學(xué)密切相關(guān)的東西能做到?？闯Ｐ?。
10.明明和亮亮是同學(xué)。在教室里，明明的位置用數(shù)對(duì)(4，5)表示，亮亮的位置用數(shù)對(duì)(7，5)表示，那么他們倆在( )。
A.同一列 B.同一行 C.同一列或同一行 D.前面三個(gè)答案都不對(duì)
分析：這道題主要考查老師們對(duì)教材的理解，關(guān)于用數(shù)對(duì)確定位置這是課標(biāo)教材的一個(gè)變化，原先的小數(shù)教材中并沒有這方面知識(shí)，如果沒有真正看過整個(gè)小學(xué)階段十二冊(cè)教材的話，有些新的知識(shí)點(diǎn)或許老師們?cè)诮獯饡r(shí)就有了相當(dāng)?shù)睦щy。出這道題的一個(gè)主要想法，就是要我們的老師能真正熟悉小學(xué)階段的12冊(cè)教材，只有真正理清了知識(shí)的前后聯(lián)系，在教學(xué)時(shí)才能夠真正做到高瞻遠(yuǎn)矚，游刃有余。
三、操作。(共22分)
A 1 2 3 4 5 B
C
1
2
3
D
C
A 1 2 3 4 5 B
1. 數(shù)一數(shù)，填一填。(每題2分，共4分)
有( )條線段，( )個(gè)三角形。 有( )條線段，( )個(gè)長(zhǎng)方形。
分析：數(shù)圖形十分重視基本圖形，第1題，數(shù)線段，AB和AC線上都有5條基本線段，因而分別有1＋2＋3＋4＋5=15條線段，這樣，這兩條線上一共有15×2=30條線段，另外，除AD線上是一條線段外，其余5條豎斜線上都分別有1+2=3條線段，這樣就有3×5=15條線段，因此，總共有30＋15＋1=46條線段。數(shù)三角形，同樣先考慮基本三角形，在三角形ADC中，有5個(gè)基本三角形，一共有1+2+3+4+5=15個(gè)三角形，在三角形ABD中，也有15個(gè)三角形，另外在三角形ABC中，還有5個(gè)以A為頂點(diǎn)的三角形，這樣一共有15×2＋5=35個(gè)不同的三角形。
第2小題，數(shù)線段比較方便，橫著看，有4條線，每條線上都有5個(gè)基本線段，都有1+2+3+4+5=15條線段，這樣一共有15×4=60條線段；再豎著看，共有6條線，每條線上都有3條基本線段，都有1+2+3=6條線段，這樣一共有6×6=36條線段，合起來，一共有60＋36=96條線段。數(shù)長(zhǎng)方形，如果把橫著看的底邊看作是構(gòu)成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的話，那這種長(zhǎng)一共有1+2+3+4+5=15種可能，把豎著的邊視為寬，寬有1+2+3=6種可能，這樣一共能構(gòu)成不同的長(zhǎng)方形15×6=90個(gè)。
2. 算一算(用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題)。(每題2分，共8分)
(1)9999×7778＋3333×6666 (2)(1＋3＋5＋…＋2011)－(2＋4＋6＋…＋2010)
分析：第(1)小題要用到乘法分配律，根據(jù)乘法分配律，有相同因數(shù)我們可以提取這個(gè)相同因數(shù)，3333×6666中雖說沒有9999，但我們可以通過把前面因數(shù)乘3，后面因數(shù)除以3積不變的規(guī)律，將它變形為9999×2222，然后利用乘法分配律，提取9999，剩下的7778＋2222正好是10000，進(jìn)而算得這道題的結(jié)果是99990000.
第(2)小題最取巧的算法是分組法，除1外，用(3-2)、(5-4)、(7-6)、(2011-2010)，這樣每組的差都是1，而除1外，后面一共能配成2010÷2=1005組，因此，這道題的最終答案就是1＋1005=1006.當(dāng)然，也可以用高斯求和的方法，先分別算出兩邊括號(hào)里的和分別是多少，再求差。
(3) (4)20102011×20102011－20102010×20102012
分析：第(3)題， ， ， ， ， ，這樣，就會(huì)發(fā)現(xiàn)中間有很多項(xiàng)被抵消掉了，只剩下 。第(4)題，如果把20102011看作A的話，則有原式=A×A－(A－1)×(A＋1)=A×A-(A×A－1)=1，即原式的結(jié)果為1.
3. 將1～8這八個(gè)數(shù)字填入圖中八個(gè)○內(nèi)，使每個(gè)圓周上五個(gè)數(shù)的和都等于21。(3分)
分析：解這種題目的關(guān)鍵在公用數(shù)的確定。要填進(jìn)去的八個(gè)數(shù)字的和是(1+8)×8÷2=36，而兩個(gè)圓周上數(shù)的總和是21×2=42，顯然這多出的42－36=6，正好是兩個(gè)公用數(shù)字的和。如果取公用數(shù)為1和5，左邊余下三個(gè)圓中的數(shù)的和是21-6=15，可以填3、4、8，余下的2、6、7填在右側(cè)余下三個(gè)圓中就成。如果取公用數(shù)為2和4，左邊余下三個(gè)圓的數(shù)的和同樣是15，可以填1，6，8，再把這時(shí)剩下的3、5、7填在右側(cè)余下三個(gè)圓中就成。
4．把1～9這九個(gè)數(shù)字填入□內(nèi)，每個(gè)數(shù)字只用一次，使下面的等式成立。(3分)
□÷□＝□÷□＝□□□÷□□
分析：這道題的突破口同樣是不變商。其中滿足□÷□=□÷□的算式相當(dāng)少，商數(shù)只能是2、3、4.如果取商數(shù)為2.有8÷4=6÷3=4÷2=2÷1，而這當(dāng)中沒有重復(fù)的只有8÷4=6÷3、6÷3=4÷2和8÷4=2÷1三種情況。如果取8÷4=6÷3，剩下的1、2、5、7、9無法組成□□□÷□□，如果取6÷3=4÷2，剩下的1、5、7、8、9恰好有158÷79=2，所以這時(shí)有解：6÷3=4÷2=158÷79。其他情況下，是否有解，老師們可以自己試試。
5. 右圖大正方形的邊長(zhǎng)是8厘米，小正方形的邊長(zhǎng)是6厘米。
大正方形中的陰影部分比小正方形中的陰影部分的面積
多多少平方厘米？(4分)
分析：這道題可以先求出陰影部分的和，再用按比例分配的方法求出陰影部分相差的。其實(shí)大正方形中陰影部分跟小正方形右下空白部分面積是相等的，因?yàn)橛蓛蓚€(gè)長(zhǎng)方形組成的右下部分的大三角形的面積是(6＋8)×8÷2，而大正方形除去上面小三角形余下的梯形的面積同樣可以用(6＋8)×8÷2，而這兩個(gè)圖形中，右下的的梯形是公共的，故而剩下部分的面積也應(yīng)該是相同的，這樣就巧妙地把大正方形中的陰影部分給移至了左側(cè)正方形的右下，也就是說，陰影部分的面積相當(dāng)于小正方形面積的一半，是6×6÷2=18平方厘米。而兩個(gè)陰影部分同底，因此，它們的面積的比也就是它們高的比，是6:8=3：4，這樣我們很容易得出，兩個(gè)陰影部分相差的面積是18的4/7－3/7=1/7，所以這道題的結(jié)果是18×1/7=18/7平方厘米。
四、探索規(guī)律(共8分)
1. 在平面上畫100條直線，這些直線最多能形成多少個(gè)交點(diǎn)？(試用列舉或列表的策略
探索出規(guī)律。)(4950)(4分)
分析：一個(gè)平面上畫兩條直線，最多能形成1個(gè)交點(diǎn)，再畫一條直線，最多能跟原來兩根直線都相交，增加2個(gè)交點(diǎn)；再畫一條直線，最多能跟原來的3根直線都相交，又增加3個(gè)交點(diǎn)，依次類推，可以列表如下：
直線
2
3
4
5
…
100
交點(diǎn)
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
…
1+2+3+…+99
從上表中可以看出交點(diǎn)最多為1＋2＋3＋…＋99=(1＋99)×99÷2=4950(個(gè))。
2. 下面每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為2厘米。(4分)
……
（1）先計(jì)算出由若干小正方體拼成的長(zhǎng)方體的表面積，并填寫好表格。
小正方體的個(gè)數(shù)
2
3
4
5
6
……
拼成長(zhǎng)方體的表面積
……
（2）當(dāng)小正方體的個(gè)數(shù)為8個(gè)時(shí)，拼成長(zhǎng)方體的表面積是（ ）平方厘米；
當(dāng)小正方體的個(gè)數(shù)為n個(gè)時(shí)，拼成長(zhǎng)方體的表面積是（ ）平方厘米。
這道題不難，這兒就不作分析了。
五、解決問題。(用算術(shù)方法解)(共4分)
1. 在一道減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是600。已知減數(shù)是差的5倍，減數(shù)和差各是多少？
分析：這是一道和倍問題。關(guān)鍵是先要求出減數(shù)與差的和，是600÷2=300，然后再用“和÷倍數(shù)和”求得一倍數(shù)，即差是300÷(5＋1)=50，減數(shù)就是50×5=250或300－50=250.
2. 袋中有紅球和黃球若干，而且顆數(shù)相等。如果取出10顆黃球，放入50顆紅球，那么紅球的顆數(shù)就是黃球的4倍，原來紅球有多少顆？
分析：這是一道差倍問題。關(guān)鍵在于要先求出成4倍關(guān)系時(shí)，兩袋球數(shù)的差，這個(gè)差要用50＋10=60顆，進(jìn)而用“差÷倍數(shù)差”求得一倍數(shù)，黃球的顆數(shù)是60÷(4－1)=20顆，需要注意的是，這個(gè)黃球的顆數(shù)是變化后的結(jié)果，因?yàn)檫@兒的4倍是變化后才有的，進(jìn)而求出袋中原有黃球20＋10=30顆，原有紅球跟它相等，自然也是30顆。
3. 某校將2500元獎(jiǎng)金發(fā)給三名優(yōu)秀教師。甲比乙多得200元，乙比丙多得100元，甲乙丙三名教師各獲得多少元？
分析：這是一道用替換法解決的問題。甲和丙都是和乙比的，干脆把多的去掉，不足的補(bǔ)上，使甲和丙跟乙同樣多。這時(shí)的總數(shù)就是2500-200+100=2400元，相當(dāng)于乙的3倍，這樣可以求出乙得2400÷3=800元，進(jìn)而求得甲得800+200=1000元，丙得800-100=700元。
4.《算法統(tǒng)宗》里有這樣一道名為“以碗知僧”的古算題：
巍巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧，三百六十四只碗，恰合用盡不差爭(zhēng)。
三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹，請(qǐng)問先生能算者，都來寺內(nèi)幾多僧？
請(qǐng)你推算出寺內(nèi)一共有和尚多少人？（624人)
分析：這道題用分組的方法來做最好理解。如果把12人看作一組，那么一組共用碗12÷3＋12÷4=7只，再用364÷7=52(組)，然后用12×52=624人。
5. 老師給幼兒園小朋友分蘋果。每2人3個(gè)蘋果，多2個(gè)蘋果，每3人5個(gè)蘋果，少4個(gè)蘋果。問：有多少個(gè)小朋友？多少個(gè)蘋果？
分析：這是道盈虧問題。關(guān)鍵在于先要把兩種表述變得一致起來，由“每2人3個(gè)蘋果”可知“每6人分得9個(gè)蘋果”，再由“每3人5個(gè)蘋果”可知“每6人10個(gè)蘋果”，比較這兩個(gè)數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)同樣的6個(gè)人，就會(huì)少用1個(gè)蘋果，而兩種情況下，一共相差了4+2=6個(gè)蘋果，因此，一共有6×6=36（個(gè)）小朋友，蘋果數(shù)就是36÷2×3＋2=56個(gè)或者用36÷3×5－4=56個(gè)。
6. 把 化成小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后面第2010位數(shù)字是幾？小數(shù)點(diǎn)后面前100位數(shù)字的和數(shù)是多少？
分析：2/7化成小數(shù)是0.285714285714……，顯然，285714這樣六位一個(gè)周期，2010÷6=335(組)，所以小數(shù)點(diǎn)后面第2010位應(yīng)該是第335組的最后一位，是4.至于小數(shù)點(diǎn)后面前100位數(shù)字的和?？梢韵扔?00÷6=16(組)…4(個(gè))，每組數(shù)的和是2＋8＋5＋7＋1＋4=27，這樣16組就是27×16=432，再加上最后一組的前四個(gè)數(shù)，即2＋8＋5＋7=22，這樣求得前100個(gè)數(shù)的和是432＋22=454.
7. 一批蘋果，分給幼兒園大班的小朋友，如果每人分5個(gè)蘋果，那么還剩余32個(gè)，如果每人分8個(gè)蘋果，那么還有5個(gè)小朋友分不到蘋果。這批蘋果的個(gè)數(shù)是多少？
分析：這也是一道盈虧問題。后面一組條件，可以變換一個(gè)說法，變成“每人分8個(gè)，就會(huì)少8×5=40個(gè)”，這樣，兩種情況相差的40+32=72個(gè)蘋果，是因?yàn)槊咳讼嗖?-5=3個(gè)蘋果造成的，從而求得人數(shù)是72÷3=24（人），這批蘋果的個(gè)數(shù)是5×24＋32=152個(gè)或8×（24-5）=152個(gè)蘋果。
8. 一捆塑料繩，第一次用去全長(zhǎng)的一半少5米，第二次用去余下的一半多12米，第三次用去8米，最后剩下3米。這捆塑料繩原來長(zhǎng)多少米？
分析：這是一道用倒推策略來解決的實(shí)際問題。第三次用前有8＋3=11米，第二次用前有（11+12）×2=46米，第一次用前也就是原來有（46－5）×2=86米。
9. 今年小紅全家人的年齡加在一起，剛好是90歲。小紅的爸爸比媽媽大3歲，小紅比妹妹大5歲。在8年前，他們?nèi)胰说哪挲g和剛好是60歲，小紅家四口人，今年各 多少人？(4分)
分析：這是一道復(fù)雜的和差問題。8年前，全家人年齡和是60，8年后也就是今年應(yīng)該是60+8×4=92歲，而實(shí)際上只有90歲，說明8年前小紅妹妹還沒有出生，也就是說，小紅妹妹今年只有8－2=6歲，小紅就是6＋5=11歲，那她父母的年齡和就是90－6－11=73歲，這樣就可以用“和差問題”的一般方法求出父親年齡是（73＋3）÷2=38歲，母親就是38－3=35歲。
