撰稿 錦州市第八中學(xué) 陳樹?！ 徃?楊景森 錄入 尹航
復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.掌握菱形的有關(guān)概念、相關(guān)性質(zhì)及判別方法.
2.會(huì)用菱形的性質(zhì)及判別條件解決有關(guān)問題，了解菱形的實(shí)際應(yīng)用.
3.提高學(xué)生綜合運(yùn)用平行四邊形、菱形有關(guān)知識(shí)的能力及分析問題、解決問題的能力.
4.在運(yùn)用的過程中，培養(yǎng)學(xué)生自身的審美情感，體驗(yàn)菱形的圖形美及在生活中的廣泛應(yīng)用.
知識(shí)要點(diǎn)
(一)定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
(二)性質(zhì)
1.邊：兩組對(duì)邊分別平行，四條邊相等.
2.角：兩組對(duì)角分別相等.
3.對(duì)角線：互相垂直且平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
4.對(duì)稱性：菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心，兩條對(duì)角線所在的直線是對(duì)稱軸.
表達(dá)式：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC；
AB=BC=CD=DA；
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC；
OA=OC=
AC，OB=OD=
BD，
AC⊥BD于O；
AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
5.菱形的周長=4×邊長.
S菱形=邊長×高=
×AC×BD.
(三)判定
1.利用定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2.四條邊都相等的四邊形是菱形.
AB=BC=CD=DA
四邊形ABCD是菱形.
3.兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
典型例題
例1 (一組變式題)
(1)已知：如圖，D、E、F分別為△ABC的邊AB、BC、CA中點(diǎn)，四邊形ADEF為菱形.
求證：△ABC為等腰三角形.
(2)如圖，△ABC中，AB=AC，D、E、F分別為AB、BC、CA中點(diǎn).
求證：四邊形ADEF為菱形.
(3)如圖△ABC中，AE平分∠BAC，ED∥AC，EF∥AB.
求證：四邊形ADEF為菱形.
知識(shí)考查
(1)三角形中位線性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定.
(2)等腰三角形性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，菱形的判定.
(3)角平分線定義，菱形的判定.
思路分析：(1)小題利用三角形中位線性質(zhì)和菱形性質(zhì)證.(2)小題先利用三角形中位線定理證是平行四邊形，再證是菱形.(3)小題先證四邊形ADEF是平行四邊形，再證是菱形.
證明：
.
例2 已知：如圖，菱形ABCD的周長為52cm，AC=10cm，求BD長及S菱形ABCD.
知識(shí)考查：菱形的性質(zhì)、判定、勾股定理，菱形的周長及面積.
思路分析：由已知菱形ABCD的周長52cm，可求邊長為13cm，再由勾股定理得BO=12，則BD=2BO=2×12=24(cm)，最后由
求面積.
解：在菱形ABCD中，
AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=
×52=13，
OA=OC=
AC=
×10=5，OB=OD=
BD，
∴∠BOA=90°.
∴
.
∴BD=2×BO=2×12=24(cm).
∴
.
例3 已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE、AF分別平分∠ABC和∠DAC，BE交AD于M.試判斷四邊形AMFE的形狀，并說明理由.
知識(shí)考查：角平分線的定義、性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判別.
思路分析：欲證四邊形AMFE為菱形，可先證MN=NE，再證AN=NF，故得平行四邊形AMFE，再證四邊形AMFE是菱形.
證明：四邊形AMFE為菱形.
設(shè)AF與BE交于點(diǎn)N.
∵BE、AF分別平分∠ABC和∠DAC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°.
∴∠2+∠7=90°.
又∠BAC=90°，
∴∠1+∠6=90°.
∴∠6=∠7.
又∠5=∠7，
∴∠5=∠6.
∴AM=AE.
∴AF⊥ME，MN=NE.
∴∠BNA=∠BNF=90°.
又BN=BN，
∴△BNA≌△BNF.
∴AN=NF.
∴四邊形AMFE為平行四邊形.
又AM=AE，
∴平行四邊形AMFE為菱形.
例4 （例3變式）若將題中的AF平分∠DAC去掉，加上條件EF⊥BC于F，則結(jié)論還成立嗎？為什么？
思路分析：先證AE=EF，再證AM=AE，將
，從而得平行四邊形AMFE，進(jìn)而得菱形AMFE.
證明：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°.
∴∠2+∠7=90°.
又∠BAC=90°，
∴∠1+∠6=90°.
又BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2.
∴∠6=∠7.
又∠7=∠5，
∴∠5=∠6.
∴AM=AE.
又EF⊥BC于F，
∴AE=EF.
又AD⊥BC，EF⊥BC，
∴
.
∴四邊形AMFE為平行四邊形.
又AM=AE，
∴平行四邊形AMFE為菱形.
能力訓(xùn)練
一、選擇題
1.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則圖中有( )對(duì)全等的直角三角形
A.3 B.4 C.5 D.6
2.下列命題正確的是( )
A.對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形
B.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形
C.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形
3.菱形的周長為8cm，一條對(duì)角線長為2cm，則另一條對(duì)角線的長為( )
A.4cm B.
cm C.2
cm D.3cm
4.如圖，在菱形ABCD中，E是AB中點(diǎn)，作EF∥BC，交AC于F點(diǎn)，若EF=4，則CD的長為( )
A.8 B.6 C.4 D.2
5.菱形的周長是它的高的8倍，則菱形較小的一個(gè)角的度數(shù)為( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.如圖，菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交AC于F點(diǎn)，E為垂足，連接DF，則∠CDF等于( )
A.80° B.70° C.65° D.50°
二、填空題
1.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長為4cm和5cm，則菱形的面積為____.
2.菱形的一條對(duì)角線長與邊長相等，則菱形較小的內(nèi)角為____度.
3.菱形有____條對(duì)稱軸，各對(duì)稱軸的位置關(guān)系是____.
4.順次連接菱形四條邊中點(diǎn)，所成的四邊形形狀是____.
5.菱形的周長為32cm，一個(gè)內(nèi)角是120°則菱形較短對(duì)角線長為____.
6.若菱形的面積為50cm2，一個(gè)內(nèi)角為30°，則其邊長為____.
7.從菱形的鈍角頂點(diǎn)向?qū)莾蛇呑鞔咕€，垂足恰好是該邊中點(diǎn)，則菱形的較小內(nèi)角的度數(shù)為____.
8.菱形的一條對(duì)角線是另一條對(duì)角線的2倍，且菱形的面積為4cm2，則此菱形的周長為____.
三、解答題
1.已知：如圖，平行四邊形ABCD，EF是AC的中垂線，交AD于E，交BC于F.
求證：四邊形AFCE為菱形.
2.在菱形ABCD中，過D作對(duì)角線BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E.
求證：BE=2AB.
3.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，M、N分別在BC、CD上，且∠MAN=60°.
試判斷△AMN的形狀，并說明理由.
參考答案
一、選擇題
1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D
二、填空題
1.10cm2 2.60° 3.兩，互相垂直 4.矩形 5.8cm 6.10cm 7.60°
8.
三、1.證明：在平行四邊形ABCD中，
AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA.
又EF是AC的中垂線，
∴EA=EC，EF⊥AC于D，OA=OC.
又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.
∴四邊形AFCE為平行四邊形.
又EF⊥AC，
∴四邊形AFCE為菱形
2.證明：在菱形ABCD中，
AB=BC=CD，
∴∠DBC=∠BDC.
又BD⊥DE，
∴∠BDC+∠CDE=90°，∠DBE+∠E=90°.
∴∠E=∠CDE.
∴CD=CE.
又CD=BC，
∴BE=2CD.
又CD=AB，
∴BE=2AB.
3.△AMN為等邊三角形.連接AC.
∵∠BAD=120°，且四邊形ABCD為菱形，
∴∠BAC=∠CAD=60°.
又∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠MAC=60°，∠NAC+∠MAC=60°.
∴∠BAM=∠NAC.
又∠B=60°，∴AB=BC=CA.
又∠B=∠CAN=60°，
∴△ABM≌△CAN.
∴AM=AN.又∠MAN=60°，
∴△AMN為等邊三角形.
