統(tǒng)計(jì)與概率研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性。對新課標(biāo)教材中的統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容，就知識層面和方法看，似乎不難。但蘊(yùn)涵的概率觀點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)思想?yún)s不容易了解。那么，概率的意義究竟是什么？概率難在何處？統(tǒng)計(jì)推斷有什么特點(diǎn)？如何評價(jià)統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果？統(tǒng)計(jì)與概率的關(guān)系是什么？下面就這些問題作一簡單分析。 一、概率的難點(diǎn)分析 1．概率的抽象性。概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量。像長度和面積這些度量都比較直觀，對溫度的高低在一定范圍我們可以感知。而事件發(fā)生的可能性大小的度量，直觀看不見，也無法感知，太抽象了。 2. 統(tǒng)計(jì)規(guī)律的隱含性。隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)為大量實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件頻率的穩(wěn)定性。這種規(guī)律稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎(chǔ)，它說明隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是事件本身固有的、不隨人們的意志而改變的客觀屬性，它是可以度量的。同時(shí)它也給出了度量的一種方法。 現(xiàn)實(shí)中，只有個(gè)別特殊情形，在合理的假設(shè)下不需通過重復(fù)實(shí)驗(yàn)而直接計(jì)算概率，而大量事件的概率需要用頻率去估計(jì)。由于統(tǒng)計(jì)規(guī)律是通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)揭示的，因此，只有深刻理解概率與頻率的關(guān)系、概率與頻率的本質(zhì)區(qū)別，才能正確理解概率的意義，利用概率思想進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策。 對概率與頻率的關(guān)系的認(rèn)識可以分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。 直觀認(rèn)識。概率描述事件發(fā)生的可能性大小，它是由事件本身唯一確定的一個(gè)常數(shù)；頻率反映在n次實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻繁程度。一般地，如果一個(gè)事件的概率較大，頻率也較大，概率較小，頻率也較小。反之也對。 具體實(shí)驗(yàn)。通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)，借助圖形表示頻率的穩(wěn)定性規(guī)律：隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率的波動(dòng)越來越小，逐漸穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)附近。但應(yīng)該認(rèn)識到頻率的不確定性，即當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率的波動(dòng)可能比較大。 精確刻畫。有些資料這樣敘述：“實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，用頻率估計(jì)概率越準(zhǔn)確”，這樣的敘述嚴(yán)密嗎？以擲硬幣為例，已知“正面向上”的概率為0.5，擲兩次硬幣，可能頻率為是0.5，用頻率估計(jì)概率的誤差為0；而擲100次硬幣，也可能頻率為0.2，誤差為0.3。顯然上面的敘述不嚴(yán)密，太絕對了。究竟如何精確地刻畫頻率的穩(wěn)定性呢？提供如下案例供參考（不需要學(xué)生了解計(jì)算方法）。 案例1 分別擲100次、200次、1000次硬幣，用“正面向上”的頻率估計(jì)概率，在給定誤差范圍內(nèi)，計(jì)算估計(jì)的可靠性。 用fn表示擲n次硬幣“正面向上”的頻率，fn的取值具有不確定性，用EXCEL計(jì)算結(jié)果如下表：
比較嚴(yán)格的敘述為：“當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，用頻率估計(jì)概率誤差較小的可能性較小，實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，用頻率估計(jì)概率誤差較小的可能性越大”。 3. 概率定義的復(fù)雜性。概率事件發(fā)生的可能性大小的度量。這是概率的描述性定義，它雖然揭示了概率的本質(zhì)，但對概率具有那些性質(zhì)，如何計(jì)算或估計(jì)事件的概率都沒有幫助。概率是頻率的穩(wěn)定值。這是概率的統(tǒng)計(jì)定義。它給出了估計(jì)事件概率的一種方法，而且明確了概率作為一種度量，應(yīng)該具有非負(fù)性、規(guī)范性和可加性。但頻率還有隨機(jī)性的特征，特別當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)不大時(shí)，很難知道這個(gè)穩(wěn)定值是什么。 為了能較好地理解概率的意義，我們應(yīng)該采用由具體到抽象，由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的方式。先認(rèn)識頻率及其性質(zhì)，頻率和概率的關(guān)系；然后討論古典概率，幾何概率這些具體簡單的模型；從中歸納概率的本質(zhì)特征，最后給出概率的公理化定義（高中階段不作要求）。 案例2美國的一個(gè)電視游戲節(jié)目 有三扇門，其中一扇門后面是一輛轎車，另兩扇門后面各有一只羊。給你一次猜的機(jī)會(huì)。猜中羊可以牽走羊，猜中車可以開走車。當(dāng)然大家都希望能開走汽車。現(xiàn)在假如你猜1號門后面是車，然后主持人把無車的一扇門（比如2號門）打開。現(xiàn)在再給你一次機(jī)會(huì)，請問你是否要換3號門？ 這是一個(gè)概率決策問題，結(jié)論只有換與不換兩個(gè)。在當(dāng)時(shí)引起了人們極大的興趣，眾說紛紜，各種各樣的觀點(diǎn)都有。足以看出概率問題是有一定難度的。 觀點(diǎn)一 一位數(shù)學(xué)博士說：美國公民的數(shù)學(xué)水平也太差了，這三扇門后面有車的可能性是一樣的，都是1/3，所以不必?fù)Q。 觀點(diǎn)二假定主持人打開的是2號門，既然2號門后面沒有車，那么車要么在1號門后面，要么在3號門后面，概率各是1/2，所以不必?fù)Q。 觀點(diǎn)三車在1號門后面的概率是1/3，于是在2號門或3號門后面的概率就是2/3 ，現(xiàn)在既然2號門后面沒有車，所以車在3號門后面的概率為2/3，因此應(yīng)該換。 哈佛大學(xué)概率教授（Diaconis）應(yīng)電視臺邀請，進(jìn)行了表演。以一張紅桃撲克牌表示車，兩張黑桃撲克牌表示羊。按照規(guī)則要求，演示了8次，結(jié)果是有6次顯示應(yīng)當(dāng)換。 Diaconis 教授說：概率的判斷是依靠大量試驗(yàn)才獲得的。如果這個(gè)游戲允許多次重復(fù)，那一定是“換”為好。如果只給你一次機(jī)會(huì)，那是很難說的。 分析由于隨機(jī)性，如果1號門后面確實(shí)是車，你猜對了，此時(shí)要換反而得不到車。如果1號門后面沒有車，此時(shí)換就得到車。那么換與不換應(yīng)該依據(jù)什么為準(zhǔn)則？在此問題中，以得到車的概率最大為準(zhǔn)則。三種觀點(diǎn)在應(yīng)用概率思想方面都是正確的，造成不同結(jié)果的原因在于對概率大小的判斷上。 首先注意的一點(diǎn)是，主持人是知道汽車在哪扇門后的。換的結(jié)果是將汽車換成羊，或?qū)⒀驌Q成汽車。選擇1號門，得到汽車的概率為1/3，得到羊的概率為2/3。如果換3號門，得到羊的概率為1/3，得到汽車的概率為2/3。從概率決策的角度應(yīng)該換，觀點(diǎn)三是正確的。 如果主持人也不知道那扇門后面是車，而是任意選擇一扇門，此時(shí)換與不換等價(jià)于抽簽時(shí)是先抽還是后抽。我們知道抽簽不分次序先后，得到車的概率都是1/3。但現(xiàn)在的問題是：主持人打開的一定是無車的門，所以觀點(diǎn)一是錯(cuò)誤的。 當(dāng)主持人打開無車的2號門時(shí)，如果讓你在1號門和3號門之間重新任選一扇門，得到車和羊的概率都是1/2?，F(xiàn)在不是讓你重新任選一扇門，而是問你是否要換。重新選擇和交換結(jié)果是不同的，所以觀點(diǎn)二也是錯(cuò)誤的。 Diaconis 教授的觀點(diǎn)是正確的。既然在概率大小的判斷上有分歧，通過重復(fù)模擬實(shí)驗(yàn)，借助頻率的大小來判斷最有說服力。但遺憾的是重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)太少，頻率的值很不穩(wěn)定，說服力不強(qiáng)，當(dāng)時(shí)并沒有消除爭議。 二、統(tǒng)計(jì)的難點(diǎn)分析 真實(shí)的數(shù)據(jù)能提供科學(xué)信息，數(shù)據(jù)能幫助我們了解世界，許多科學(xué)結(jié)論都是通過分析數(shù)據(jù)而得到的，借助數(shù)據(jù)提供的信息作出的判斷才比較可信。因此，“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已成為現(xiàn)代社會(huì)普遍應(yīng)用而且高效的思維模式，而“用樣本推斷總體”又是統(tǒng)計(jì)最核心的思想方法。 統(tǒng)計(jì)學(xué)已有2000多年的歷史，按其發(fā)展的歷史階段和統(tǒng)計(jì)方法的構(gòu)成看，統(tǒng)計(jì)學(xué)可以描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)。描述統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集的方法、數(shù)據(jù)的加工和整理方法、用圖表表示數(shù)據(jù)的方法、數(shù)據(jù)分布特征的概括與分析方法等。推斷統(tǒng)計(jì)研究如何依據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體的數(shù)量特征的方法，它以樣本數(shù)據(jù)信息為依據(jù)，以概率論為理論基礎(chǔ)，對總體未知的數(shù)量特征作出以概率形式表述的推斷。 那么統(tǒng)計(jì)內(nèi)容學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在那里呢？ 1．傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維模式對統(tǒng)計(jì)思維方法的影響 統(tǒng)計(jì)是以樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，通過對數(shù)據(jù)的整理、描述和分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特征或規(guī)律，從而對總體的特征作出推斷。它所采用的是歸納推理，屬于合情推理范疇。帶有很強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)性。 確定性數(shù)學(xué)主要運(yùn)用演繹推理的方式，即從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論，或揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。研究確定性數(shù)學(xué)，是不能用個(gè)別舉例或驗(yàn)證代替一般的證明的。比如可以通過測量或拼接的方法，歸納得出“三角形內(nèi)角和等于180°”，但是，哪怕你度量了100次，只能說發(fā)現(xiàn)了這一結(jié)論，未經(jīng)證明之前仍不能作為定理。 統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)，這種思維方式的轉(zhuǎn)變需要一個(gè)過程。 2.統(tǒng)計(jì)方法的評價(jià)與統(tǒng)計(jì)結(jié)果的解釋 確定性數(shù)學(xué)在確定的條件下，結(jié)論是完全確定的。對其結(jié)果可以用“對”和“錯(cuò)”來評判。用樣本推斷總體，由于樣本數(shù)據(jù)和總體的不一致性，會(huì)產(chǎn)生代表性誤差，由于樣本的隨機(jī)性，會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)誤差，從而造成估計(jì)的結(jié)論也具有不確定性。因此，評價(jià)一種估計(jì)方法的好壞，不能僅依一次估計(jì)的誤差大小來衡量，而應(yīng)考慮所有可能樣本的情況下，整體誤差的大小。對統(tǒng)計(jì)結(jié)論也不能用“對”和“錯(cuò)”來解釋，而應(yīng)指出在多大的置信度下，誤差有多大。 對某種統(tǒng)計(jì)方法，既讓學(xué)生認(rèn)識到方法的合理性，又體會(huì)到結(jié)果的不確定性，這是滲透統(tǒng)計(jì)思想不可缺少的。問題是，在學(xué)生沒有或具有很少的概率知識背景下，在教學(xué)中應(yīng)該如何處理？這肯定是一個(gè)難點(diǎn)。 3．統(tǒng)計(jì)原理的理解與運(yùn)用 統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)是一些統(tǒng)計(jì)原理。例如，統(tǒng)計(jì)估計(jì)依據(jù)的極大似然原理，假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)依據(jù)小概率原理，回歸分析依據(jù)最小二乘原理等。它們都是人們在長期的社會(huì)實(shí)踐中歸納出來的一般原理。它們不同于數(shù)學(xué)公理或定理，公理是大家公認(rèn)的事實(shí)，是絕對正確的；定理是經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯證明是正確的事實(shí)。而統(tǒng)計(jì)原理本身并不是絕對正確的，利用這些原理進(jìn)行推斷肯定會(huì)犯錯(cuò)誤。如何理解這些原理，并將其運(yùn)用到統(tǒng)計(jì)推理中，這是又一個(gè)難點(diǎn)。 案例3 目前流行的甲型H1N1流感傳染性很強(qiáng)，假設(shè)在人群中的感染率為20%?，F(xiàn)有Ⅰ，Ⅱ兩種疫苗，疫苗Ⅰ對8個(gè)健康的人進(jìn)行注射，最后結(jié)果為無一人感染。疫苗Ⅱ對25個(gè)健康的人進(jìn)行注射，最后結(jié)果為有一人感染。你認(rèn)為這兩種疫苗哪個(gè)更有效？ 直觀分析：如果不考慮概率，注射疫苗Ⅰ后感染率為0，注射疫苗Ⅱ后感染率為4%，似乎疫苗Ⅰ更有效些。而實(shí)際上感染率只有20%，并非100%。假設(shè)疫苗Ⅰ完全無效，“8人注射無一人感染”仍有較大的可能性。假設(shè)疫苗Ⅱ無效的條件下，“25人注射有1人感染”的可能性要小的多。依據(jù)小概率原理，判斷疫苗Ⅱ比疫苗Ⅰ可能更有效些。 推理過程：設(shè)事件A=“8人注射無一人感染”，B=“25人注射有1人感染”， 假設(shè)疫苗Ⅰ無效 假設(shè)疫苗Ⅱ無效， 這種推理稱為假設(shè)檢驗(yàn)。所運(yùn)用的推理方式類似于數(shù)學(xué)反證法。應(yīng)用數(shù)學(xué)反證法，當(dāng)推出和已知事實(shí)矛盾的結(jié)果時(shí)，否定假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)是一旦小概率事件發(fā)生，就否定假設(shè)。但小概率原理不是絕對正確的事實(shí)，所以推理有可能犯錯(cuò)誤。我們追求的是使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小。 三、對統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)的幾點(diǎn)建議 1．突出核心思想，把握重點(diǎn)和難點(diǎn)。對概率意義和統(tǒng)計(jì)思想的理解，是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。不要把概率教學(xué)變成復(fù)雜的概率計(jì)算；把統(tǒng)計(jì)教學(xué)變成單純的數(shù)據(jù)處理和計(jì)算技巧；不要糾纏一些無關(guān)緊要的細(xì)節(jié)而干擾主題。 現(xiàn)在的情況是，許多學(xué)生（包括數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生），可以計(jì)算很復(fù)雜的概率，但面對需要用概率和統(tǒng)計(jì)思想解決實(shí)際問題時(shí)，顯的束手無策。這說明在教學(xué)中，過多的關(guān)注了知識技能的學(xué)習(xí)，忽視思想方法的理解。 2. 恰當(dāng)?shù)念惐群苡行А８怕逝c頻率的關(guān)系、總體的數(shù)字特征與樣本的數(shù)字特征之間的關(guān)系，都比較抽象。可以用某物體長度真值和測量值來類比。 黑板的長度a是客觀存在的，但未知。可以通過測量來了解；而測量結(jié)果總會(huì)有誤差，為減少誤差，可以用多次測量值的平均數(shù)估計(jì)a。 事件的概率p是客觀存在的，但未知，可以用頻率估計(jì)；頻率具有不確定性，估計(jì)的誤差不可避免，為減少誤差，可以增加重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)。 總體指標(biāo)X的平均值（數(shù)學(xué)期望）是一個(gè)確定的數(shù)值，可以用樣本的平均值去估計(jì)；隨機(jī)抽取的樣本具有隨機(jī)性，所以樣本的平均值也具有隨機(jī)性，要想估計(jì)的更準(zhǔn)確些，可以適當(dāng)增大樣本容量。 又比如，如果樣本的代表性好，用樣本的特征推斷總體的特征就比較準(zhǔn)確。可以用“要想知道一鍋湯是否夠咸，在充分?jǐn)噭驎r(shí)，只需嘗一小勺即可”類比。 3．必要的操作實(shí)驗(yàn)不可省。概率的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性本身就是通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的，用樣本推斷總體的方法，可以認(rèn)為是實(shí)驗(yàn)科學(xué)。在高中階段，由于課時(shí)以及學(xué)生認(rèn)知水平的限制，我們不可能也沒有必要用嚴(yán)密的方法揭示一些穩(wěn)定性規(guī)律，評價(jià)統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)劣。設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膶?shí)驗(yàn)，直觀認(rèn)識隨機(jī)性規(guī)律、樹立概率觀點(diǎn)、理解統(tǒng)計(jì)思想是必要的，也是可行的。在一些具體問題中，可以通過實(shí)驗(yàn)糾正對概率判斷上錯(cuò)誤觀點(diǎn)，統(tǒng)一認(rèn)識，消除爭議。 4. 重視反例和極端特例的作用。在揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、探索數(shù)學(xué)定理成立的條件時(shí)，反例具有重要的作用。同樣，在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中，一些極端的特例有時(shí)會(huì)發(fā)揮意想不到的作用。 例１ 用頻率估計(jì)概率，有人認(rèn)為“實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大，估計(jì)的就越準(zhǔn)確”。 極端特例：擲兩枚硬幣，有50%的可能得到頻率為1/2，而擲1000次硬幣，理論上仍有可能得到頻率為1。說明“實(shí)驗(yàn)次數(shù)越大，估計(jì)的就越準(zhǔn)確”，這樣的表述不嚴(yán)密。 例２ 從包含100個(gè)學(xué)生的總體中，隨機(jī)抽取10名學(xué)生作為樣本，估計(jì)全體學(xué)生的平均身高。分別采用不放回抽樣和有放回抽樣，哪種抽樣方式下估計(jì)的更準(zhǔn)確些？ 大多數(shù)人認(rèn)為有放回抽樣下估計(jì)的更準(zhǔn)確，實(shí)際上恰恰相反。要想說服他們，我們不可能用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一套理論，通過計(jì)算概率或期望和方差，作出判斷。 以下兩個(gè)極端特例都能說明問題。 特例1：采用有放回抽樣，有可能同一個(gè)體被重復(fù)抽到，也有可能10次都抽到同一名學(xué)生，此時(shí)樣本的代表性非常差，估計(jì)很難準(zhǔn)確。而不放回抽樣不會(huì)發(fā)生這樣的情況。 特例2：假定樣本容量為100，采用不放回抽樣，樣本和總體完全相同，估計(jì)結(jié)果完全確定，沒有任何誤差。而采用不放回抽樣，很難遇到樣本和總體完全相同的情況。 例3 小概率原理、極大似然原理是統(tǒng)計(jì)推斷中最常使用的原理。因?yàn)樗鼈兌疾皇墙^對正確的，應(yīng)用這些原理作統(tǒng)計(jì)推斷，學(xué)生理解上有困難。其原因是，大多數(shù)情形我們把小于0.05的概率就看成小概率了。那就舉概率更小的例子。 乘坐飛機(jī)有可能遇到空難，為什么絕大多數(shù)人不拒絕坐飛機(jī)？因?yàn)榘l(fā)生空難的概率太小了（據(jù)統(tǒng)計(jì)小于300萬分之一），我這次不會(huì)出事的。這不是已經(jīng)用小概率原理來決策了嗎。 極大似然原理是說：一次實(shí)驗(yàn)有多個(gè)事件，哪一事件發(fā)生了，就認(rèn)為這個(gè)事件的概率最大。當(dāng)這些事件的概率相同時(shí)，應(yīng)用極大似然原理是最不靠譜的。但在實(shí)際推斷時(shí)，往往這些事件的概率相差懸殊。 例如，有兩個(gè)箱子，其中第一個(gè)箱子裝有99個(gè)紅球，1個(gè)白球，第二個(gè)箱子裝有99個(gè)白球，1個(gè)紅球。任意選擇一個(gè)箱子，從中任意摸出一球，結(jié)果摸出的紅球，請你判斷球是從哪個(gè)箱子中取出的。我想很少有人判斷是從第二個(gè)箱子中取出的。 5．慎重選用教輔資料。目前市場上教輔材料很多，有的質(zhì)量低劣。特別是關(guān)于統(tǒng)計(jì)與概率的一些資料，要么內(nèi)容超標(biāo)，要么錯(cuò)誤百出，很容易誤導(dǎo)我們的教學(xué)。 參考文獻(xiàn)： 人民教育出版社、課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究中心。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)③ （必修）A版。人民教育出版社2007。
2009-12-08 人教網(wǎng) |
