在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，概率統(tǒng)計(jì)問題是新教材中新開辟的知識領(lǐng)域，在近兩年的高考中占有不小的比重。我指導(dǎo)學(xué)生在這兩年的高考備考中發(fā)現(xiàn)，這部分內(nèi)容以計(jì)數(shù)問題為特征，其思想方法也較獨(dú)特，是發(fā)展學(xué)生抽象和邏輯思維能力的好素材。對學(xué)生而言，這部分內(nèi)容較為獨(dú)立，與以往的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的好、差聯(lián)系相對較小。因此，作為指導(dǎo)高三學(xué)生特別是文科生備考的一線教師，能否把這章知識教好，是有效地突破學(xué)生已有的思維方式或思維定勢，增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，最終在高考中取勝的關(guān)鍵。在此章內(nèi)容的教學(xué)中，辨認(rèn)出學(xué)生知識聯(lián)系上的缺陷和思維的片面性，進(jìn)行有針對性地講授從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)對象理解的真度和深度是很有必要的。鑒于此，我主要談?wù)剬W(xué)生在此章學(xué)習(xí)上的困惑和結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際所做的一些處理嘗試，在此拋磚引玉。
（一）困惑及對策
困惑一：如何審清題意？
例1 甲、乙兩個(gè)排球隊(duì)進(jìn)行比賽，已知每局甲獲勝的概率為0.6,比賽采用五局三勝制.（1）在前兩局中乙隊(duì)以2:0領(lǐng)先的條件下,求甲、乙各自獲勝的概率；（2）求甲隊(duì)獲勝的概率。
第一問中前兩局乙隊(duì)以2：0領(lǐng)先，誤認(rèn)為前兩局乙勝的概率為0.42而錯(cuò)解為甲獲勝的概率為0.42×0.63.
對策: 在求對立事件、互斥事件、獨(dú)立事件的概率審題時(shí)應(yīng)重視：
（1） 簡化意識：如第（1）問求乙勝的概率時(shí)，考慮到無平局的情況，利用了“甲勝與乙勝為對立事件”使問題簡化；
（2） 轉(zhuǎn)化意識：如第（2）問將“甲勝”轉(zhuǎn)化為甲勝乙的比為3：0，3：1或3：2，注意每種情況下最后一局應(yīng)甲勝而結(jié)束，進(jìn)而再利用獨(dú)立事件或互斥事件概率公式計(jì)算；
（3） 歸納意識：善于歸納解題方法，求較復(fù)雜概率問題時(shí)，通常有兩種方法，一是求此事件的對立事件的概率，二是將其分解為若干個(gè)彼此互斥的事件的和，再利用概率加法公式求其值。
困惑二 怎樣正確理解求等可能性事件概率的“等可能性”？
學(xué)生無法正確理解等可能性事件的概率的意義，加上排列組合知識遷移比較困難，造成困惑。如：
例2 已知集合A={-3，-6，-4，-2，0，1，3，5，7}，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)x∈A，y∈A，且x≠y. 計(jì)算：（1）點(diǎn)（x，y）正好在第二象限的概率；（2）點(diǎn)（x，y）不在x軸上的概率。
例3 (04年全國卷Ⅱ) 已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì),以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A,B兩組,每組4支.求(1)A,B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率;(2)A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率.
我在給學(xué)生分析此題第(1)問P= 時(shí),部分學(xué)生對要不要乘2表示疑惑,爭論不休,不少學(xué)生將排列組合中的”平均分堆”的想法帶入到本題的解法中,從而將問題復(fù)雜化.
對策: (1)學(xué)會(huì)將此類問題歸結(jié)于等可能事件的概率問題;
(2)學(xué)會(huì)從不同的背景材料中抽象出兩個(gè)問題: (Ⅰ)一個(gè)基本事件所對應(yīng)的具體的意義;(Ⅱ)弄清所有基本事件的個(gè)數(shù)n和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)m,從而P=n/m .
困惑三: 怎樣發(fā)現(xiàn)相似問題的不同之處?
1. 有放回與不放回抽樣問題
例4 若某批產(chǎn)品中有m件次品，n件正品,(1)采取不放回抽樣方式;(2)采取有放回抽樣方式,從中抽取t件產(chǎn)品(t≤m+n).問正好有k件次品的概率分別是多少?
解:(1)從m+n件產(chǎn)品中取出t件產(chǎn)品的所以基本事件的個(gè)數(shù)為 ,恰有k件次品對應(yīng)事件個(gè)數(shù)為 ,由等可能性事件概率公式有
(2)有放回抽樣時(shí),每件次品被抽到的概率均為 ,抽到的次品數(shù)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件.由其概率公式,得所求概率為
對策：指導(dǎo)學(xué)生不僅要抓住區(qū)別兩種抽樣的關(guān)鍵特征:每件產(chǎn)品每次被抽到的概率,對不放回抽樣方式是不等的,對有放回抽樣方式是相等的,而且懂得如何正確判斷出所求事件的概率屬于等可能事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、互斥事件發(fā)生一個(gè)的概率的哪種類型，又能準(zhǔn)確綜合運(yùn)用上述三種概率的求法。
2．如何確定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布或幾何分布？
例5 某植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為1/2，一研究小組做了若干次發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），若一次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則將繼續(xù)下次實(shí)驗(yàn)，直到種子發(fā)芽成功為止，但發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5次，求此組所做種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)次數(shù)ξ的概率分布列和期望。
學(xué)生在剛做此題時(shí)，往往認(rèn)為ξ服從幾何分布，因而P（ξ=5）=1/25 .
造成錯(cuò)誤的原因是未能掌握幾何分布中,實(shí)驗(yàn)次數(shù)n的取值為1,2,3…與此題的不超過5次是有不同的.故此題中ξ看似服從幾何分布,但實(shí)際上是有區(qū)別的.
例6 從分別寫有1,2,3,4,5,6,7,8,9的九張卡片中,任意抽取兩張,當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時(shí),就說這次試驗(yàn)成功.求在15次試驗(yàn)中成功次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望.
由于此題綜合了求等可能性事件概率和發(fā)現(xiàn)ξ——B（n，p），Eξ=np來解，不少學(xué)生做此題時(shí)未能及時(shí)發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)分布造成解題煩瑣。
對策：（1）讓學(xué)生深刻理解服從二項(xiàng)分布、幾何分布的隨機(jī)變量的特征，實(shí)行“對號入座”；
（2）進(jìn)行適度地訓(xùn)練，鞏固和加強(qiáng)記憶。
（二）備考啟示
1．注意理論聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識
學(xué)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿是用數(shù)學(xué)。聯(lián)系實(shí)際是本章的一個(gè)顯著特點(diǎn)。大量的與“概率與統(tǒng)計(jì)”有關(guān)的實(shí)際問題，包括射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)、機(jī)器無故障運(yùn)行、拋擲硬幣、投籃、學(xué)生成績、學(xué)生游戲等引進(jìn)試題中。所以使學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光來觀察所處的客觀世界，逐步養(yǎng)成借助數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法來思考研究問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識對教好本章非常必要的。
2．深入淺出地分析，重符合學(xué)生思路的問題解決
在學(xué)生有困惑的教學(xué)情境中，幫助學(xué)生想通道理，以便突破疑難點(diǎn)是十分重要的。但學(xué)生思考問題的角度與教師常常是不一致的，學(xué)生的難點(diǎn)與老師假想學(xué)生的難點(diǎn)不一定相吻合。因此，教師最重要的任務(wù)并非是向?qū)W生闡述自己對問題的理解，而是如何根據(jù)學(xué)生思維的具體狀況和原有思路，有針對性地去解，啟發(fā)學(xué)生分析其惑的原因何在，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決的辦法，幫助學(xué)生突破認(rèn)知上的“瓶頸”。
3．突出基本內(nèi)容和方法，加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練，重在解題方向和解題策略的引導(dǎo)
重點(diǎn)讓學(xué)生掌握等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率及離散型隨機(jī)變量的期望和方差的計(jì)算，立足基礎(chǔ)知識和基本方法，恰當(dāng)選取典型例題，造就思維依托和合理的思維定勢，運(yùn)用變式題目，將常規(guī)題向典型問題轉(zhuǎn)化，查找思維缺陷，提高分析、解決問題的能力。
4．鞏固加強(qiáng)前后知識的聯(lián)系，突破概率綜合問題
本章知識與排列組合、數(shù)列、方程、不等式等都可聯(lián)系，教學(xué)時(shí)應(yīng)注意前后知識的結(jié)合，成為一個(gè)有機(jī)的整體，從而提高教學(xué)效率。如2005年廣東省高考第18題為概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列相結(jié)合。只有重視本章知識與其它知識的聯(lián)系，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，才有可能有所突破。
總之，概率與統(tǒng)計(jì)是新大綱增加的內(nèi)容，是高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識的基礎(chǔ)。我認(rèn)為本章是高考中文科生的主要得分點(diǎn)之一，能很好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。
