“十字垂直結(jié)構(gòu)”是中考常常出現(xiàn)的試題，屬于考前必須要掌握的知識點(diǎn)，破解此類題型的基本策略是：對兩條互相垂直的線段進(jìn)行平移，然后證明相關(guān)的三角形全等或者相似即可.
“十字垂直結(jié)構(gòu)”常見的有兩種：①在正方形中存在兩條十字交叉垂直的線段； ②在矩形中存在兩條十字交叉垂直的線段. 基本模型和破解方法如下：
基本結(jié)構(gòu)1：如下圖，在正方形ABCD中，若EF⊥GH，結(jié)論：EF=GH.
證明方法：如下圖所示，過點(diǎn)A作AM∥GH交DC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN∥FE交AD于點(diǎn)N，則四邊形AGHM和四邊形BFEN都是平行四邊形，于是有AM=GH，BN=EF.已知EF⊥GH，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得AM⊥BN，則∠MAB+∠ABN=90°，∠MAB+∠MAD=90°，∴∠ABN=∠MAD. 在Rt△ADM和Rt△BAN中，∠D=∠BAN，AD=AB，∠MAD=∠ABN，∴Rt△ADM≌Rt△BAN（ASA）∴AM=BN，即EF=GH.
基本結(jié)構(gòu)2：如下圖，在長方形ABCD中，若EF⊥GH，結(jié)論：EF：GH=AB：AD.
證明方法：如下圖所示，過點(diǎn)A作AM∥GH交DC于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN∥FE交AD于點(diǎn)N，同上題，可知AM=GH，BN=EF， AM⊥BN，∠ABN=∠MAD，又∵∠D=∠BAN，∴△ADM∽△BAN，∴BN：AM=AB：DA，即EF：GH=AB：AD.
總結(jié)：①若在正方形中出現(xiàn)“十字垂直”，那么互相垂直的兩條線段相等；②若在矩形中出現(xiàn)“十字垂直”，那么互相垂直的兩條線段的比等于矩形的長寬之比.
基本證明方法：把兩個(gè)互相垂直的線段分別平移到過四邊形的頂點(diǎn)，證明相關(guān)三角形全等或者相似即可.
下面先講解兩道今年的中考題，然后是配套練習(xí)（附答案），請認(rèn)真學(xué)習(xí)提高.
【典例1】（2018山東聊城第20題）如下圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，連接AE，過B點(diǎn)作BH⊥AE，垂足為點(diǎn)H，延長BH交CD于點(diǎn)F，連接AF.
（1）求證：AE=BF； （2）若正方形邊長是5，BE=2，求AF的長.
解析：（1）如下圖所示，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3， 又∵∠C=∠ABE，BC=AB，∴?BCF≌?ABE. ∴AE=BF；
（2）∵?BCF≌?ABE ∴ CF=BE=2，∴DF=DC-CF=3，在Rt?ADF中，用勾股定理可求得AF=√34.
點(diǎn)評：本題難度不大，是對“十字垂直結(jié)構(gòu)”的一次常規(guī)性考查，涉及到的知識點(diǎn)有全等三角形的判定、勾股定理的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
【典例2】（2018年長春中考）如下圖，在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），連接BE.
【感知】如圖①，過點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，易證?ABF≌?BCE.（不需要證明）
【探究】如圖②，取BE的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作FG⊥BE交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G.
（1）求證：BE=FG. （2）連接CM.若CM=1，則FG的長為________．
【應(yīng)用】如圖③，取BE的中點(diǎn)M，連接CM.過點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)G，連接EG、MG.若CM=3，則四邊形GMCE的面積為________．
解析：（1）如下圖，將GF平移到AH處，則AH∥GF，AH=GF. 接下來只要證明?ABH≌?BCE，即可得AH=BE，繼而得BE=FG.
（2）∵M(jìn)是BE的中點(diǎn)，∴CM是Rt?BCE的斜邊中線，∴BE=2CM=2. ∴FG=BE=2.
【應(yīng)用】由上面解答信息可知ME=CM=3，BE=CG=6，∵M(jìn)E⊥GC，∴四邊形GMCE的面積=1/2·ME·CG=1/2×3×6=9.
點(diǎn)評：本題在“十字垂直結(jié)構(gòu)”的基礎(chǔ)上作了變形處理，層層遞進(jìn)逐步深入，難度漸漸變大，很有點(diǎn)類比探究的意境，有一個(gè)結(jié)論需牢記：若四邊形的對角線互相垂直，那么它的面積就是兩條對角線積的一半.
【配套練習(xí)】
探究證明
（1）如下圖所示，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，GH分別交AD、BC于點(diǎn)G、H. 求證：EF：GH=AD：AB.
結(jié)論應(yīng)用
（2）如下圖所示，在滿足（1）的條件下，若AM⊥BN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，且EF：GH=11:15，則BN：AM的值為_______．
聯(lián)系拓展
（3）如下圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，求DN：AM的值.
【答案】
（1）如下圖所示，過點(diǎn)A作AP∥EF，交CD于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交AD于點(diǎn)Q.則四邊形AEFP、四邊形BHCQ都是平行四邊形，∴AP=EF，GH=BQ. 又∵GH⊥EF，AP∥EF，BQ∥GH，∴AP⊥BQ. ∴∠DAP+∠AQB=90°. ∵∠DAP+∠DPA=180°-∠D=90°，∴∠DPA=∠AQB，又∵∠D=∠DAB ∴△PDA∽△QAB，∴AP：BQ=AD：AB ∴ EF：GH=AD：AB.
（2）∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）的結(jié)論可得 EF：GH=AD：AB，BN：AM=AD：AB，∴BN：AM= EF：GH=11:15，即BN：AM的值為11/15.
（3）如下圖所示，過點(diǎn)D作AB的平行線交BC的延長線于點(diǎn)E，作AF⊥AB交直線DE于點(diǎn)F.，則四邊形ABEF是矩形. 連接AC，由已知條件得△ADC≌△ABC，可證得△ADF∽△DCE，∴DE：AF=DC：AD=1/2. 設(shè)DE=x，則AF=2x，DF=10-x，在Rt△ADF中，由勾股定理可解得x=4，∴AF=2x=8. ∴DN：AM=AF：AB=4/5.
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