分段函數(shù)最值型的應(yīng)用問(wèn)題一般地，化歸為一次、二次函數(shù)的最值問(wèn)題，我們需要注意⑴分段表示解析式，分別確定該區(qū)段內(nèi)的最值；⑵分類(lèi)討論思想的運(yùn)用。

真題詳解

例1.(利潤(rùn)最大化型問(wèn)題)在黃州服裝批發(fā)市場(chǎng)，某種品牌的時(shí)裝當(dāng)季節(jié)將來(lái)臨時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)這種時(shí)裝開(kāi)始時(shí)定價(jià)為20元，并且每周(7天)漲價(jià)2元，從第6周開(kāi)始保持30元的價(jià)格平穩(wěn)銷(xiāo)售；從第12周開(kāi)始，當(dāng)季節(jié)即將過(guò)去時(shí)，平均每周減價(jià)2元，直到第16周周末，該服裝不再銷(xiāo)售。

⑴ 試建立銷(xiāo)售價(jià)y與周次x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵ 若這種時(shí)裝每件進(jìn)價(jià)Z與周次x次之間的關(guān)系為Z=-0.125(x-8)*2+12，1<x≤16，且x為整數(shù)，試問(wèn)該服裝第幾周出售時(shí)，每件銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少?

解題思路提示

依題意知本題是分段函數(shù)問(wèn)題:注意到“每周漲價(jià)2元”喪示價(jià)的上漲部分與時(shí)間成正比例，從而售價(jià)是時(shí)間的一次函數(shù)?！皟r(jià)格平穩(wěn)銷(xiāo)售”表示價(jià)格不變?！懊恐芙祪r(jià)2元”表示價(jià)格的減少部分與時(shí)間成正比例，從而售價(jià)是時(shí)間的一次函數(shù)。則注意到每種情況下自變量的取值范圍可建立函數(shù)關(guān)系式。

解題步驟

解⑴依題意得，可建立的函數(shù)關(guān)系式為：

y=20+2(x-1) (1≤x<6)，y=30 (6≤x≤11)，

y=30-2(x-11)(12≤x<16)；

∴y=2x+18 (1≤ⅹ＜6)，y=30 (6≤x≤11)，

y=-2x+52 (12≤x≤16)

⑵ 設(shè)利潤(rùn)為W，則W=售價(jià)-進(jìn)價(jià)

故:W=20+20x+1/8(ⅹ-8)*2-14 (1≤x<6).

W=30+1/8(x-8)*2-12 (6≤x≤11).

W=1/8(x-8)*2-2x+40 (12<x≤16).

化簡(jiǎn)得:W=1/8x*2+14 (1≤x<6)，

W=1/8x*2-2x+26 (6≤x≤11)

W=1/8x*2-4ⅹ+48 (12≤x≤16)

①當(dāng)W=1/8x*2+14時(shí)，∵當(dāng)x≥0，函數(shù)W隨著x增大而增大，∵1≤x<6

∴當(dāng)x=5時(shí)，W有最大值，最大值=17.125

②當(dāng)W=1/8x*2-2x+26時(shí)，

∵W=1/8(x-8)*2+18，當(dāng)x≥8時(shí)，函數(shù)W隨x增大而增大，

∴在x=11時(shí)，函數(shù)有最大值為153/8.

③當(dāng)W=1/8ⅹ*2-4x時(shí)

∵W=1/8(x-16)*2+16，

∵12≤x≤16，當(dāng)x≤16時(shí)，函數(shù)W隨x增大而減小，

∴在x=12時(shí)，函數(shù)有最大值為18

綜上所述，當(dāng)x=11時(shí)，函數(shù)有最大值為153/8。

例2.(方案最優(yōu)化型問(wèn)題)我市高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的某公司，用480萬(wàn)元購(gòu)得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，并進(jìn)一步投入資金1520萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工，已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)40元。經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)，需定在100元到300元之間較為合理。當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷(xiāo)售量為20萬(wàn)件；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)超過(guò)100元，但不超過(guò)200元時(shí)，每件新產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格每增加10元，年銷(xiāo)售量將減少0.8萬(wàn)件；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)超過(guò)200元，但不超過(guò)300元時(shí)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格每增加10元，年銷(xiāo)售量將減少1萬(wàn)件。設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x(元)，年銷(xiāo)售量為y(萬(wàn)件)，年獲利為u(萬(wàn)元).(年獲利=年銷(xiāo)售額-生產(chǎn)成本-投資成本)

⑴ 直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵ 求第一年的年獲利w與x間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損?若盈利，最大利潤(rùn)是多少?若虧損，最少虧損是多少?

⑶ 若該公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利(或最小虧損)后，兩年的總盈利不低于1842萬(wàn)元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍。在此情況下，要使產(chǎn)品銷(xiāo)售量最大，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元?

解題思路提示

⑴ 根據(jù)題意，列出分段函數(shù)。

⑵ 根據(jù)條件，求出二次函數(shù)解析式，從中找出最值以及相應(yīng)的自變量范圍。

⑶ 分情況進(jìn)行討論，找出最值以及相應(yīng)的自變量取值范圍。

解題步驟

解:⑴這個(gè)顯然是一個(gè)分段函數(shù)，

y=20-(x-100)/10×0.8=-0.08x+28

100<x≤200，

可見(jiàn)x=200元時(shí)，y=28-16=12(萬(wàn)件)，

y=12-x-200/10×1=-0.1x+32，200＜ⅹ≤300.

⑵ 投資成本為480+1520=2000萬(wàn)元

y=-0.08x+28，100<x≤200，

W=xy-40y-2000

=(x-40)(-0.08x+28)-2000

=-0.08x*2+31.2x-3120

=-0.08(x-195)*2-78，

可見(jiàn)第一年在100＜x≤200注定虧損，

x=195時(shí)虧損最少，為78萬(wàn)元

200<x≤300，y=-0.1x+32，

w=xy-40y-2000

=(x-40)(-0.1x+32)-2000

=-0.1x*2+36x-3280

=-0.1(x-180)*2-40，

可見(jiàn)第一年在200<x≤300注定虧損，

x=200時(shí)虧損最少，為80萬(wàn)元

綜上可見(jiàn)，x=195時(shí)虧損最少，為78萬(wàn)元。

⑶ 兩年的總盈利不低于1842萬(wàn)元，可見(jiàn)第

二年至少要盈利1842+78=1920萬(wàn)元，既然兩年一塊算，第二年我們就不用算投資成本那2000萬(wàn)元了。

第二年：

100<x≤200時(shí)

第二年盈利

=xy-40y=-0.08(x-195)*2+1922≥1921

解不等式得到：190≤x≤200，聯(lián)合

200<x≤300，也就只有x=200

綜上有190≤x≤200為解

這時(shí)候再看y=-0.08x+28，可見(jiàn)x=190時(shí)，y最大，為12.8

∴定價(jià)190元時(shí)候，銷(xiāo)售量最大。

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