完美突破立體幾何題
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立體幾何證明題,是高考必考題,證明平行、垂直關(guān)系是主要題型,特別是垂直關(guān)系尤為重要.掌握判定定理、性質(zhì)定理并能靈活運(yùn)用是解題的根本.學(xué)會(huì)分析推理的方法和證明技巧是提升推理能力的關(guān)鍵.
證明平行關(guān)系的方法
(1)證明線線平行的常用方法:
①利用平行公理,即證明兩直線同時(shí)和第三條直線平行;
②利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換;
③利用三角形中位線定理證明;
④利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明.
(2)證明線面平行的常用方法：
①利用線面平行的判定定理,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平行;
②利用面面平行的性質(zhì)定理,把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行.
(3)證明面面平行的方法:
證明面面平行,依據(jù)判定定理,只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可,從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行,再轉(zhuǎn)化為證明線線平行.
(1)證明線面垂直的常用方法:
①利用線面垂直的判定定理,把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;
②利用面面垂直的性質(zhì)定理,把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂直；
③利用常見結(jié)論,如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.
(2)證明面面垂直的方法:
證明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般先從現(xiàn)有直線中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線來(lái)解決.
(1)立體幾何中,要證線垂直于線,常常先證線垂直于面,再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線.要證線平行于面,只需先證線平行于線,再用線平行于面的判定定理易得.
(2)證明立體幾何問(wèn)題,要緊密結(jié)合圖形,有時(shí)要利用平面幾何的相關(guān)知識(shí),因此需要多畫出一些圖形輔助使用.
(3)平行關(guān)系往往用到三角形的中位線,垂直關(guān)系往往用到三角形高線、中線.
空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法
(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來(lái)解決問(wèn)題;
(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型,如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系,并結(jié)合有關(guān)定理來(lái)進(jìn)行判斷.
解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題,主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況,以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷,必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷,同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.
平面圖形經(jīng)過(guò)翻折成為空間圖形后,原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒(méi)有發(fā)生變化,這些發(fā)生變化和沒(méi)有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.一般地,在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化,解決這類問(wèn)題就是要根據(jù)這些變與不變,去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值,這是化解翻折問(wèn)題的主要方法.
(1)折疊問(wèn)題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口；
(2)存在探索性問(wèn)題可先假設(shè)存在,然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理,得出矛盾或肯定結(jié)論.
押題依據(jù) 空間兩條直線、兩個(gè)平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考命題的熱點(diǎn).此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識(shí)相交匯,意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.
押題依據(jù) 空間直線和平面的平行、垂直關(guān)系是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考解答題的熱點(diǎn),結(jié)合探索性問(wèn)題考查考生的空間想象能力、推理論證能力,是命題的常見形式.
高考選擇題小技巧
例1.(2015·北京)設(shè)α,β是兩個(gè)不同的平面,m是直線且m?α.則'm∥β'是'α∥β'的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
常規(guī)思路：
解析 m?α,m∥β 推不出 α∥β,但m?α,α∥β?m∥β,
∴m∥β是α∥β的必要而不充分條件.答案選B.
小技巧1:高考中對(duì)于這類選條件的題,可以直接排除充要條件和既不充分也不必要的選項(xiàng)了,考到概率幾乎不可能,當(dāng)然這類題也會(huì)很簡(jiǎn)單,學(xué)霸可以秒殺，但對(duì)于學(xué)渣,如果你不會(huì),那你就用這種方法來(lái)提高概率了.再舉一道例題.
2.已知直線l⊥平面α,直線m∥平面β,則'α∥β'是'l⊥m'的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既非充分也非必要條件
運(yùn)用Mr.Yang講的方法,直接排除C、D兩個(gè)選項(xiàng),在A、B里面選一個(gè)(僅適用于學(xué)渣).
正確解法：
∵直線l⊥平面α,α∥β,
∴直線l⊥平面β,
又∵直線m∥平面β，
∴l⊥m;但直線l⊥平面α,直線m∥平面β,且l⊥m時(shí),α與β可以相交,
故'α∥β'是'l⊥m'的充分不必要條件,選A.
小技巧2:秒殺三視圖
對(duì)于高考選擇題中三視圖求體積或者面積的題，如果三視圖中其中兩個(gè)圖為三角形（只看外輪廓線）不管第三個(gè)圖是什么圖形,你可以直接觀察四個(gè)選項(xiàng)：面積選有2倍關(guān)系其中小的那個(gè)選項(xiàng),體積就選成3倍關(guān)系小的那個(gè)選項(xiàng).如果沒(méi)有3倍關(guān)系的選項(xiàng),就選與3有關(guān)的,比如分母為3.(注意是椎體).
有人可定會(huì)說(shuō),這不科學(xué)啊,這完全就是蒙啊.Mr.Yang告訴大家,高考的目的是想把考生劃分出個(gè)369等來(lái),對(duì)于三視圖這類簡(jiǎn)單題大家都會(huì)做,那考查的就是大家細(xì)不細(xì)心的問(wèn)題,在算面積時(shí)大家往往會(huì)忘記乘以二分之一,算椎體體積時(shí)忘記乘三分之一,所以如果三視圖問(wèn)題是算椎體體積,就直接看選項(xiàng),看看哪兩個(gè)選項(xiàng)是成三倍的關(guān)系,然后在這兩個(gè)選項(xiàng)里面選擇小的那個(gè)選項(xiàng).大家可以試著去驗(yàn)證.
立體幾何部分的題就先講這些,如果哪位同學(xué)還有問(wèn)題,可在后臺(tái)微信Mr.Yang,也可加Mr.Yang的個(gè)人扣扣1327291240,在不忙的前提下會(huì)一一為你解答.
高考選擇題的應(yīng)對(duì)策略
解答高考數(shù)學(xué)選擇題既要求準(zhǔn)確破解,又要快速選擇,正如《考試說(shuō)明》中明確指出的,應(yīng)'多一點(diǎn)想的,少一點(diǎn)算的'. 因此,在解答時(shí)應(yīng)該突出一個(gè)'選'字,盡量減少書寫解題過(guò)程,一定要避免一看到題就蒙頭算到底,在對(duì)照選項(xiàng)的同時(shí),多方考慮間接解法,依據(jù)題目的具體特點(diǎn),命題人的思路,靈活、巧妙、快速地選擇解法,以便快速智取.
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