四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
作用：可用來證明點、直線在平面內(nèi)．
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
作用：①可用來確定一個平面；②證明點線共面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
作用：①可用來確定兩個平面的交線；②判斷或證明多點共線；③判斷或證明多線共點．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．
[提醒]
(1)三點不一定確定一個平面．當三點共線時，可確定無數(shù)個平面．
(2)公理與推論中“有且只有”的含義是“存在且唯一”，“有且只有”有時也說成“確定”．
【例1】在下列命題中，不是公理的是( )
A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行
B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面
C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)
D．如果兩個不重合的平面有一個公共點， 那么他們有且只有一條過該點的公共直線
解析：選A 選項A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的．
【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AA1的中點．求證：
(1)E，C，D1，F四點共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點．
(1)位置關(guān)系的分類：
(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)范圍：
1．直線與平面平行的定義
直線與平面沒有公共點，叫做直線與平面平行．
2．平面與平面平行的定義
如果兩個平面沒有公共點，叫做兩個平面平行．
解決有關(guān)線面平行，面面平行的判定與性質(zhì)的基本問題要注意：
(1)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視．
(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．
(3)會舉反例或用反證法推斷命題是否正確．
【例1】對于空間的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題中的真命題是( )
A．若m∥α，n∥α，則m∥n
B．若m∥α，n?α，則m∥n
C．若m∥α，n⊥α，則m∥n
D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
解析：選D 對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．
【例2】已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是( )
A．m∥β且l1∥α
B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2
D．m∥l1且n∥l2
解析：選D 由定理“如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”可得，由選項D可推知α∥β，因此選D.
【例3】過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1 平行的直線共有________條．
解析：過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，記AC，BC，A1C1，B1C1的中點分別為E，F，E1，F1，則直線EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共6條．
答案：6
1．直線與平面平行的判定定理
自然語言：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．
簡稱：線線平行，則線面平行．
符號語言：a?α，b?α，且a∥b?a∥α.
[提醒] 在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會出現(xiàn)錯誤．
2．直線與平面平行的性質(zhì)定理
自然語言：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．
簡稱：線面平行，則線線平行．
符號語言：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
[提醒] 一條直線平行于一個平面，它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行，也可能異面．
證明直線與平面平行，一般有以下幾種方法
(1)若用定義直接判定，一般用反證法；
(2)用判定定理來證明，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程；
(3)應用兩平面平行的一個性質(zhì)，即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面．
1．平面與平面平行的判定定理
自然語言：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．
簡稱：線面平行，則面面平行．
符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β.
[提醒] (1)如果一個平面內(nèi)的兩條平行直線與另一個平面平行，則這兩個平面相交或平行．
(2)要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平行”問題最終可轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題．
2．平面與平面平行的性質(zhì)定理
自然語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．
簡稱：面面平行，則線線平行．
符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
[提醒] 平面與平面平行的性質(zhì)定理實際上給出了判定兩條直線平行的一種方法，注意一定是第三個平面與兩平行平面相交，其交線平行．
判定平面與平面平行的方法
(1)利用定義；
(2)利用面面平行的判定定理；
(3)利用面面平行的判定定理的推論；
(4)面面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
(5)利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α，l⊥β?α∥β)．
【例】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點，求證：平面PMN∥平面A1BD.
1．直線與平面垂直的定義
如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.
2．兩個平面垂直的定義
如果兩個相交平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相垂直．平面α與β垂直，記作α⊥β.
【例1】已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且α∥β
解析：選C 由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確．
【例2】設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面( )
A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α
B．若m∥β，β⊥α則m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α則m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α
解析：選C 選項A，B，D中m均可能與平面α平行、垂直、斜交或在平面α內(nèi)，故選C.
【例3】設(shè)α，β分別為兩個不同的平面，直線l?α，則“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選A 依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件．
解決垂直關(guān)系的基本問題要注意
(1)緊扣垂直關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理．
(2)借助于圖形去判斷．
(3)舉反例排除去判斷．
1．直線與平面垂直的判定定理
(1)自然語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
(2)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.
2．直線與平面垂直的性質(zhì)定理
自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.
[提醒] 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條平行直線都垂直，則該直線與此平面不一定垂直，也有可能直線在平面內(nèi)或平行于該平面，所以“相交”這一條件不可忽略．
證明直線和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理；
(2)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α?b⊥α)；
(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
(4)利用面面垂直的性質(zhì)．
當兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．
1．兩個平面垂直的判定定理
自然語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．
符號語言：a?α，a⊥β ?α⊥β.
[提醒] 平面和平面垂直的判定定理的兩個條件：l?α，l⊥β，缺一不可．
2．平面與平面垂直的性質(zhì)
自然語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．
符號語言：α⊥β，α∩β＝CD，AB?α，AB⊥CD?AB⊥β.
1．判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定義；
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
2．在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．
在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
