国产一级a片免费看高清,亚洲熟女中文字幕在线视频,黄三级高清在线播放,免费黄色视频在线看

§6.2直線與平面之間的位置關(guān)系

 

一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

 

1.     掌握空間直線與平面的三種位置關(guān)系（直線在平面內(nèi)、相交、平行）.

2.     直線和平面所成的角，當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)所成的角是

，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)所成的角是9

，當(dāng)直線與平面斜交時(shí)所成的角是直線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角.

3.     掌握直線與平面平行判定定理（如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和平面平行）和性質(zhì)定理（如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行）.

4.     直線與平面垂直的定義是：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)所有直線垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直；掌握直線與平面垂直的判定定理（如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面）和性質(zhì)定理（如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行）.

5.     直線與平面的距離（一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線和這個(gè)平面的距離）.

6.     三垂線定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直）、逆定理（在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直）.

7.     從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段都短.

 

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

 

1.斜線與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角.

2.在證明平行時(shí)注意線線平行、線面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.

3.在證明垂直時(shí)注意線線垂直、線面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用，同時(shí)還要注意三垂線定理及其逆定理的運(yùn)用.要注意線面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”，如果用“無(wú)數(shù)”或“兩條”都是錯(cuò)誤的.

4.直線與平面的距離一般是利用直線上某一點(diǎn)到平面的距離.“如果在平面的同一側(cè)有兩點(diǎn)到平面的距離（大于0）相等，則經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行.”要注意“同一側(cè)”、“距離相等”.

 

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

 

[例1]已知平面

∥平面

，直線

平面

,點(diǎn)P

直線

,平面

、

間的距離為8，則在

內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到

的距離為9的點(diǎn)的軌跡是（  ）

A.一個(gè)圓    B.四個(gè)點(diǎn)    C.兩條直線       D .兩個(gè)點(diǎn)

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)點(diǎn)線距離、線線距離、面面距離的關(guān)系掌握不牢.

正解：B. 

[例2] a和b為異面直線，則過(guò)a與b垂直的平面(    ).

  A．有且只有一個(gè)                B．一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)

  C．可能不存在                  D．可能有無(wú)數(shù)個(gè)

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：過(guò)a與b垂直的平面條件不清.

正解：C.

[例3]由平面

外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線段，斜足分別為A,B,C，O為⊿ABC的外心，求證：

.

錯(cuò)解：因?yàn)镺為⊿ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC，又因?yàn)镻A＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以

POA＝

POB＝

POC＝

，所以

.

錯(cuò)因：上述解法中

POA＝

POB＝

POC＝RT

，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄兀窟@里缺少必要的證明.

正解：取BC的中點(diǎn)D，連PD、OD，

[例4]如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M為AA₁的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為

，設(shè)這條最短路線與C₁C的交點(diǎn)為N,

求: （1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

（2）PC和NC的長(zhǎng)；

（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）

錯(cuò)因：（1）不知道利用側(cè)面BCC₁ B₁展開(kāi)圖求解,不會(huì)找

的線段在哪里;(2)不會(huì)找二面角的平面角.

正解：(1)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為

(2)如圖，將側(cè)面BC₁旋轉(zhuǎn)

使其與側(cè)面AC₁在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁的位置，連接MP₁  ，則MP₁就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)CC₁到點(diǎn)M的最短路線.

設(shè)PC＝

，則P₁C＝

，

在

 

(3)連接PP₁（如圖），則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線，作NH

于H，又CC1

平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線定理的逆定理得，

.

[例5] P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)，Q 是PA 的中點(diǎn)，求證：PC∥ 平面BDQ ．

　　分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了．

證明：如圖所示，連結(jié)AC ，交BD 于點(diǎn)O ，

∵四邊形ABCD 是平行四邊形.

∴AO=CO ，連結(jié)OQ ，則OQ 在平面BDQ 內(nèi)，且OQ 是

的中位線，∴PC∥OQ ．

∵PC 在平面BDQ 外，∴PC∥平面BDQ ．

點(diǎn) 評(píng)：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行.

[例6] 在正方體A₁B₁C₁D₁－ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中點(diǎn)．求證：EF垂直平面BB₁O．

證明 ： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點(diǎn)．

∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC．

∵B₁B⊥平面ABCD,AC

平面ABCD

∴AC⊥B₁B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，

又BO與BB₁是平面BB₁O上的兩條相交直線，

∴AC⊥平面BB₁O(線面垂直判定定理)

∵AC∥EF，

∴ EF⊥平面BB₁O．

 [例7]如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 是BB₁ 的中點(diǎn)，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE

平面ACD₁ ．

分析：本題考查的是線面垂直的判定方法．根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE

平面ACD₁ ，只要在平面ACD₁ 內(nèi)找兩條相交直線與OE 垂直．

證明：連結(jié)B₁D 、A_!D 、BD ，在△B₁BD 中，

　　∵E,O 分別是B₁B 和DB 的中點(diǎn)，

　　∴EO∥B₁D ．

　　∵B₁A₁

面AA₁D₁D ，

　　∴DA₁ 為DB₁ 在面AA₁D₁D 內(nèi)的射影．

　　又∵AD₁

A₁D ，

　　∴AD₁

DB₁  ．

　　同理可證B₁D

D₁C ．

　　又∵AD₁

，AD₁,D₁C

面ACD₁ ，

　　∴B₁D

平面ACD₁ ．

　　∵B₁D∥OE ，

　　∴OE

平面ACD₁ ．

　　點(diǎn) 評(píng)：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法．在證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用．

[例8]．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,點(diǎn)N在BD上, 點(diǎn)M在B₁C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA₁B₁B.

證明：

證法一.如圖,作ME∥BC,交BB₁于E,作NF∥AD,交AB于F,連EF則EF

平面AA₁B₁B.

ME=NF

又ME∥BC∥AD∥NF,

MEFN為平行四邊形,

MN∥EF. 

 MN∥平面AA₁B₁B.

證法二.如圖,連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連B₁P,則B₁P

平面AA₁B₁B.

∽

,

又CM=DN,B₁C=BD,

∥B₁P.

  B₁P

平面AA₁B₁B,

MN∥平面AA₁B₁B.

證法三.如圖,作MP∥BB₁,交BC于點(diǎn)P,連NP.

MP∥BB₁,

   BD=B₁C,DN=CM,

NP∥CD∥AB.

面MNP∥面AA₁B₁B.

MN∥平面AA₁B₁B.

 

 四、典型習(xí)題導(dǎo)練

 

1．設(shè)a ，b 是空間兩條垂直的直線，且b∥平面

  ．則在“a∥平面

”、“a

”、“a與

相交”這三種情況中，能夠出現(xiàn)的情況有（     ）．

　A．0個(gè)　　B．1　　C．2個(gè)　　D．3個(gè)

2．一個(gè)面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形僅有一條對(duì)角線與這個(gè)截面平行，那么此四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形是（   ）．

　A．梯形　　B．任意四邊形　　C．平行四邊形　　D．菱形

3．若一直線和一個(gè)平面平行，夾在直線和平面間的兩條線段相等，那么這兩條線段的位置關(guān)系是（    ）．

　　A．平行　　B．相交　　C．異面　　D．平行、相交或異面

4．空間四邊形的邊AB 、BC 、CD 、DA 的中點(diǎn)分別是E 、F 、G 、H ，若兩條對(duì)角線BD 、AC 的長(zhǎng)分別為2和4，則EG²+HF² 的值（     ）．

A．5　　B．10       C．20       D．40

5．點(diǎn)P 、Q 、R 、S 分別是空間四邊形ABCD 四邊的中點(diǎn)，則：當(dāng)AC

時(shí)，四邊形PQRS 是______形；當(dāng)AC=BD 時(shí)，四邊形PQRS 是____形．

 

6．已知兩個(gè)全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面內(nèi)，M 、N 分別在它們的對(duì)角線AC ，BF 上，且CM=BN ，

求證：MN∥ 平面BCE ．

8.     如圖，已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形,且

(1)              證明C₁C

;

當(dāng)

的值為多少時(shí)，能使A₁C

平面C₁BD？請(qǐng)給出證明.