線段動點問題
【解析】
(1)由F、H、G是中點，考慮連接CE、BD，可以得到FH是△DCE的中位線、GF是△BDE的中位線；
根據(jù)三角形中位線的性質易得GF與BD、FH與CE的數(shù)量及位置關系，聯(lián)系平行線的性質還可得到∠GFH的度數(shù)；
結合等邊三角形的性質易證△ABD≌△ACE，于是有BD=CE.聯(lián)系上步分析推出GF與FH的數(shù)量關系，從而判斷出△FGH的形狀；
(2)連接CE，與(1)同理可將問題轉化為求BD的長.由F是等邊△ADE的邊DE的中點，考慮連接AF，得到Rt△ADF與Rt△ABF.求出DF、AF的長，利用勾股定理便可求解；
(3)等邊三角形的性質可知△FGH的周長取最值時FH取最值，由上述分析得到此時CE取最值.通過畫圖易得E在AC上時CE最小，A在CE上時CE最大，由此解答題目.
【解析】
如圖，過點B作BG⊥AC，過點A作AH⊥BC，連接AD，由直角三角形的性質和勾股定理可求BC的長，由面積法可求AH的長，可證點A，點E，點D，點F四點在以AD為直徑的圓上，設圓心為O，連接OE，OF，可得EF=2*OE*cos30°，當⊙O的直徑最小時，EF的長最小，即可求解.
【點評】
本題考查勾股定理，圓周角定理，垂線段最短，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.
【解析】
(1)由題意可求x=4，y=6，即可求點B坐標；
(2)①由折疊性質可得AD=DE，∠ADO=∠ODE，由三角形外角性質可得∠ADO=∠DBE，可得OD∥BQ，即可證四邊形BDOQ是平行四邊形；
②由題意可證△BFD~△QCB，可得BF/CQ=BD/BQ=DF/BC，可求BF=9/5，DF=12/5，由S△EOQ=S平行四邊形BDOQ-S△DEO-S△BDE可得△OEQ面積；
(3)連接RO，以RO為直徑作圓H，作HF⊥OQ于點F，由題意可得點A，點P，點R，點O四點共圓，即點P在以點H為圓心，RO為直徑的圓上，則點P，點H，點Q三點共線時，PQ值最大，由勾股定理可求HQ=v5，即可求QP的最大值.
【點評】
本題是四邊形的綜合題，矩形的性質，平行四邊形的判定和性質，折疊的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓的有關知識，熟練運用這些性質進行推理是本題的關鍵.
【解析】
(1)連接ED，證明∠EDO=90°即可，可通過半徑相等得到∠EDB=∠EBD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得DO=BO=AO，∠ODB=∠OBD，得證；
(2)①分兩種情況:a)F位于線段AB上，b)F位于BA的延長線上；過F作AC的垂線，構造相似三角形，應用相似三角形性質可求得點F坐標；②應用相似三角形性質求出最值.
【點評】
本題是一道難度較大，綜合性很強的有關圓的代數(shù)幾何綜合題，主要考查了圓的性質，切線的性質和判定定理，直角三角形性質，相似三角形性質和判定，動點問題，二次函數(shù)最值問題等，構造相似三角形和應用求二次函數(shù)最值方法是解題關鍵.
