勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數量關系，這就搭建起了幾何圖形和數量關系之間的一座橋梁，即運用數形結合思想方法解決問題?！皵怠笔侵改軜嬙斐鲋苯侨切蔚娜叺拈L度,“形”是構造出來的直角三角形。解答題目的關鍵是以“形”助“數”。
01構圖法求最值
構圖法求最值：①將數的問題轉化為形的問題；②轉化后常利用將軍飲馬的最值模型輔助求解；③將軍飲馬的最值模型可求線段和的最小值以及線段差的最大值。
例題1：如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=3，DE=2，BD=12，設CD=x.
（1）用含x的代數式表示AC+CE的長．
（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小，并求出此時AC+CE的最小值．
（3）根據（2）中的規(guī)律和結論，重新構圖求出代數式√x2+1+√(8?x)2+25的最小值．
分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最??；
（3）由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式√x2+1+√(8?x)2+25的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值。
此題主要考查了軸對稱求最短路線以及勾股定理等知識，本題利用了數形結合的思想，求形如√x2+1+√(8?x)2+25的式子的最小值，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解。
02構造法求面積
例題2：（1）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為√5、√10、√13，求此三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示，這樣不需求△ABC的高而借用網格就能計算出它的面積，請你將△ABC的面積（）；
（2）思維拓展：我們把上述求△ABC面積的方法叫做方格構圖法．如果△ABC三邊的長分別為√5a、√8a、√17a（a＞0），請利用圖②的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積；
（3）探索創(chuàng)新：若△ABC三邊的長分別為√m2+16n2，√9m2+4n2，2√m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），試運用構圖法在圖③網格中畫出相應的△ABC示意圖，并求出這個三角形的面積．
分析：本題考查作圖-應用與設計作圖，二次根式的應用，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構造三角形解決問題，學會利用割補法求三角形的面積。
此題主要考查了勾股定理應用，利用了數形結合的思想，通過構造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關鍵．關鍵是結合網格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答。
