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拋物線性質(zhì)（一）

問(wèn)題再現(xiàn)：2017年高考北京卷（理）18題

已知拋物線C：y²=2px過(guò)點(diǎn)P(1，1).過(guò)點(diǎn)(0，1/2)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）求證：A為線段BM的中點(diǎn).

本題是拋物線C：y²=2px的一個(gè)性質(zhì)：已知點(diǎn)P(2p，2p)，過(guò)點(diǎn)(0，p)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)，則A為線段BM的中點(diǎn).

問(wèn)題變式一：

已知拋物線C：y²=2x.過(guò)點(diǎn)(0，1)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與直線ON交于點(diǎn)A，其中O為原點(diǎn)，若線段MA的中點(diǎn)為P，證明直線OP的斜率k為定值.

問(wèn)題變式二：

已知拋物線C：y²=2px過(guò)點(diǎn)P(2，2).過(guò)點(diǎn)(0，b)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）若A為線段BM的中點(diǎn)，求b的值.