2011年上海高考數(shù)學（理）壓軸題第23題詳解與評析
大罕
試題：已知平面上的線段l及點P，任取上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d(P,l ),
⑴求點P(1,1)到線段l：x-y-3=0(3≤x≤5)的距離d(P,l )；
⑵設(shè)l是長為2的線段，求點的集合D={P|d(P,l)≤1}所表示的圖形面積；
⑶寫出到兩條線段l 1,l2距離相等的點的集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l 2)}，其中l1=AB,l 2=CD,A,B,C,D是下列三組點中的一組：
對于下列三種情形，只需選做一種，滿分分別是①2分，②6分，③8分；若選擇了多于一種情形，則按照序號較小的解答 計分.
?、貯(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0) .
②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2) .
?、跘(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0) .
詳解：
第⑴題比較簡單，線段l：x-y-3=0(3≤x≤5)即線段AB，如圖1所示，因為PA⊥AB, 所以按定義，P點到線段AB的距離d(P,l)＝|PA|＝√5.
第⑵題.按定義，與l 距離等于1的點的集合，從左右兩側(cè)看是與l“等高平齊”的兩條線段，從上下兩頭看分別是與兩條線段“吻合”的半徑為1的兩個半圓，并且這兩條線段與兩個半圓圍成一個形如操場的封閉的曲線.
因此，與l距離小于或等于1的點的集合是一個由操場曲線所圍成的“實心”的平面塊（圖2）.其面積顯然是一個邊長為2的正方形加上一個半徑為1的圓的面積的和，等于4+π.
第⑶題. ① 若A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)，則l1,l2是長度為3、相距為2的兩條平行線段，連接AC、DB，則組成一個矩形CABD.
依題意，當點P在矩形CABD內(nèi)部時，集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)＝1}，它是位于AB、DC正中間、平行于AB、且與AB相距為1的線段MO，方程為x=0(0≤y≤3)；
當點P在矩形ABDC外部時，集合Ω={P|d(P,l1)=d(P,l 2)＝a,a>1}，它是線段CA和DB的中垂射線(向上或向下且不含端點M、O)，方程為x=0(y>3)和x=0(y<0)).
綜合起來，Ω={(x,y)|x=0，y∈R}，即y軸，如圖3-1所示.
②若A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2) ,連接CA、DB，則組成直角梯形矩形CABD.
過B作BF⊥CD交CD于F，過D作DE⊥AB交AB的延長線于E，如圖3-2所示.
以下要分3種情況加以討論.
情形1：當點P在矩形CABF內(nèi)部和朝向y軸正方向的外部時，即為①的情形，Ω1={(x,y)|x=0,y≥0}，其圖形是y軸的非負半軸；
情形2：當點P在矩形FBED內(nèi)部時，設(shè)P點為軌跡上任一點，因為P點到定點B和定直線CD等距，所以P點軌跡是拋物線，且取其在矩形FBED內(nèi)的那一段.而拋物線的焦點為B(1,0),準線為x=-1，因此拋物線方程y2=4x，于是Ω2={(x,y)|y2=4x,-2≤y<0}；
情形3：當點P在矩形FBED的朝向y軸負方向的外部時，P點軌跡是線段BD的中垂射線ME(不含線段ME)，由kBD=1,得kME=-1,而M(0,-1),于是Ω3={(x,y)|y=-x-1, x>1}
綜合起來，
Ω=Ω1∪Ω2∪Ω3
={(x,y)|x=0,y≥0}∪{(x,y)|y2=4x,-2≤y<0}∪{(x,y)|y=-x-1,x>1}.
③若A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)，連接AD,則組成Rt△AB(C)D.
過A、D分別作y軸、x軸的垂線，二者交于E點，取BD的中點M,過M作x軸的垂線交AD于N點(顯然N是AD的中點)，交AE于F點，過N作AD的垂線交直線DE于G點,過G點作y軸的垂線GH,如圖3-3所示.
以下要分4種情況加以討論.
情形1：當點P在Rt△AB(C)D的左下角時，第三象限及x軸、y軸的非正半軸上的所有點，它們到B(C)距離符合最小值的定義，組成的集合Ω1={(x,y)|x≤0，y≤0}；
情形２：當點P在正方形AFMB的內(nèi)部時，對角線BF上的點（不含B點）均符合定義，組成集合Ω2={(x,y)|y=x，0<x≤1 }；
情形３：當點P在矩形AEGH的內(nèi)部時，按定義，|PA|=yP,即x2+(y-1) 整理得x2=2y-1，組成集合Ω3={(x,y)| x2=2y-1，1<x≤2}；
情形4：當點P在矩形AEGH的右上方的外部時，按定義，到AB、CD距離最小的點應(yīng)在線段AD的平分線NG上，由N(1,1/2)和kNG=2,可知直線NG的方程為4x-2y-3=0，所組成的集合Ω4={(x,y)|4x-2y-3=0，x>2}；
綜合起來，
Ω=Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4
={(x,y)|x≤0，y≤0}∪{(x,y)|y=x，0<x≤1}∪{(x,y)|x2=2y-1，1<x≤2}∪{(x,y)|4x-2y-3=0，x>2}.
評析：創(chuàng)新是民族進步的靈魂，也是教育改革的核心觀念。高考命題從形式到內(nèi)容的創(chuàng)新，乃是高考生命力的生動體現(xiàn)。上海的數(shù)學高考一直遵循這一理念，多年來孜孜不倦地進行探討，年年有所創(chuàng)新，給各地的高考命題作出了表率。2011年高考（理）第14題，是一次成功的嘗試。
枝葉繁茂源于扎實的根基。創(chuàng)新，不是脫離實際的胡編亂造，而是扎根于教材沃土的奇葩。
本題涉及的知識點，主要是軌跡的概念：到兩定點距離相等的點的集合是連接這兩點的線段的垂直平分線；到一定點距離等于定長的集合是以該點為圓心、定長為半徑的圓；到一定點和一定直線距離相等的點的集合是以該點為焦點、該直線為準線的拋物線。這些顯然是與中學教材緊密相扣的。
點到直線的距離是大家所熟知的，而本題給出了點到線段的距離的概念，這不僅給我們帶來新鮮感，而且對距離概念作出了合乎情理的有益的推廣。這種推廣還給我們帶來數(shù)學的美感，請看：到長為a的線段l距離等于r的點的集合，是一個與此線段“等高平齊”、距離為r的兩條平行線段以及以這平行線段端點為直徑端點的兩個半圓所圍成的封閉的“操場”曲線，它圍成的面積為2r(a+π)。
緊扣教材和內(nèi)容和形式新穎，并非一道題可用作高考題的充分條件，還要看其考查功能，是否有利于推進素質(zhì)教育、有利于高校選拔新生、有利于培養(yǎng)學生創(chuàng)新和實踐能力的原則而定。作為壓軸題的壓軸題，應(yīng)該是一道有一定難度的試題，以進一步考察那些能力較強的考生。
何謂能力較強？筆者以為體現(xiàn)在三個方面：
一是在非標準狀態(tài)下甚至在“險惡”的環(huán)境下執(zhí)行常規(guī)操作。好比普通人行走不會摔倒但走鋼絲就不行了。平衡是常規(guī)操作，在鋼絲上取得平衡也是常規(guī)操作，但需要高超的能力。又如數(shù)的計算一般都能掌握，但在抽象的字母下進行變換就需要較強的能力。給出一定點和定直線，求到定點和定直線距離相等的軌跡，這是常規(guī)情形下求拋物線方程?？墒窃谝饬喜坏降那闆r下，本題的第⑵問，實際上是給出了定點B和定直線CD，求到此點和此直線距離相等的點的軌跡方程，許多學生就傻眼了。這里有能力在起作用。
二是對數(shù)學概念和數(shù)學問題的領(lǐng)悟。就應(yīng)試而言，所謂領(lǐng)悟，其實就是讀懂題意。對于創(chuàng)新題，往往是先給出概念，要求應(yīng)試者當場快速地理解概念的內(nèi)涵，繼而利用其外延解決問題。而數(shù)學的抽象性，給我們理解題意帶來不小的障礙?！耙阎矫嫔系木€段l及點P，任取l上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d(P,l)”。如何理解？過P點作線段所在直線的垂線，若垂足在線段上，則垂足與P點的線段為PQ的最小值（與原本定義相符合）；若垂足落在線段的延長線上，則線段靠近P點那個端點與P的連線段為PQ的最小值。這樣，點到線段的距離的概念我們就算是讀懂了。
三是面臨不同情況的分別討論。討論不是無病呻吟，而是不得已而為之的心甘情愿的行為。能想到要討論是能力，能選擇一個標尺做到無遺漏無重復更是一種能力。在陌生環(huán)境下自覺地、無遺漏無重復加以討論是一次嚴峻的考驗。本題的第（3）小題，兩條線段有公共點且構(gòu)成直角三角形的兩直角邊，到它們距離相等的點的集合自然而然必須分成幾種情形才行。
可喜的是，據(jù)權(quán)威人士講，考試下來的結(jié)果比預想的要好。這說明上海的中學教育多年來提倡重視基礎(chǔ)發(fā)展能力的教學理念起了好的作用。
