主要是指以立體幾何中的點、線、面的位置關(guān)系為背景的排列、組合、概率問題。
一、分類討論共面問題
例1、不共面的四個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有（ ）
A. 3個
B. 4個
C. 6個
D. 7個
解析：平面α可以分為兩類：一類是在平面α的兩側(cè)各有兩個點；另一類是在平面α的兩側(cè)分別有一個點和三個點。如圖1，設(shè)E、F、G、H、M分別是AB、AC、AD、CD、BD的中點，過E、F、G三點的平面α滿足題意，這樣的平面有4個；又過E、F、H、M的平面α也滿足題意，這樣的平面有3個。故適合題設(shè)的平面α共有7個，應(yīng)選D。
圖1
例2、在四棱錐P—ABCD中，頂點為P，從其他的頂點和各棱的中點中取3個，使它們和點P在同一平面上，不同的取法有（ ）種。
A. 40
B. 48
C. 56
D. 62
圖2
解析：如圖2，滿足題設(shè)的取法可分為三類：
（1）在四棱錐的每個側(cè)面上除點P外任取3點，有
（2）在兩個對角面上除點P外任取3點，共有
（3）過點P的每一條棱上的三點和與這條棱異面的棱的中點也共面，共有
故不同的取法共有
這類問題應(yīng)根據(jù)立體圖形的幾何特點，選取恰當?shù)姆诸悩藴剩龅椒诸惣炔恢貜?，也不遺漏。在例2中，最容易漏掉的是第（3）類，最易重復的也是第（3）類。
二、靈活轉(zhuǎn)化異面問題
例3、過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有（ ）
A. 18對
B. 24對
C. 30對
D. 36對
解析：大家知道一個三棱錐可以確定3對異面直線，一個三棱柱可以組成
利用熟知的立體圖形來靈活轉(zhuǎn)化，是處理異面直線配對問題的常用方法。
例4、四棱錐的8條棱分別代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點的兩條棱所代表的化工產(chǎn)品在同一倉庫中存放是危險的，沒有公共點的棱所代表的化工產(chǎn)品在同一倉庫中存放是安全的?，F(xiàn)有編號為①②③④的四個倉庫，用來存放這8種化工產(chǎn)品，則安全存放的不同方法總數(shù)為（ ）
A. 96
B. 48
C. 24
D. 0
圖3
解析：如圖3，分別用1～8標號的棱表示8種不同的化工產(chǎn)品，易知可以兩兩放入同一倉庫的情況如下（其實就是異面直線配對）：
則8種產(chǎn)品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，6）、（4，7）”兩種可能，故所求的方法總數(shù)為
這道實際應(yīng)用題用四棱錐的8條棱的關(guān)系來研究化工產(chǎn)品的存放種數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想。同學們在解決問題時，首先要將問題轉(zhuǎn)化為四棱錐的8條棱之間的排列組合情況，然后再把四棱錐的8條棱分成4對異面直線。
三、化整為零，各個擊破綜合問題
例5、以平行六面體
A.
B.
C.
D.
解析：此問題可分解成五個小問題：
（1）由平行六面體的8個頂點可組成多少個三角形？
可組成
（2）平行六面體的8個頂點中，4點共面的情形共有多少種？
平行六面體的6個面加上6個對角面，共12個平面。
（3）在上述12個平面內(nèi)的每個四邊形中共面的三角形有多少個？
有
（4）從56個三角形中任取2個三角形共面的概率P等于多少？
（5）從56個三角形中任取2個三角形不共面的概率P等于多少？
利用求對立事件概率的公式，得
故選A。
這道題以立體幾何熟知內(nèi)容為載體，構(gòu)思巧妙，綜合考查立體幾何、排列組合、概率等基礎(chǔ)知識，深入考查同學們的數(shù)學思維能力。本題的得分率較低，同學們的主要失誤表現(xiàn)在以下兩方面：（1）面對一個復雜的問題，缺乏明確的解題目標意識，不善于將其分解為若干個子問題；（2）漏掉平行六面體的6個對角面也是4點共面的情形，造成所求概率
