提要
我們在思考問題的時候，若能根據(jù)題中的結構特點，把問題中貌似獨立，但實質(zhì)上又相互聯(lián)系的量看成一個整體，從而在宏觀上尋求解決問題的途徑，這種思想方法就稱為整體的思想方法。
知識全解
一．整體法的概念
所謂的整體法，就是研究某些數(shù)學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是有意識地放大問題的視角，將要解決的問題看成一個整體，通過研究得到整體形式或整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的。
只有所求的問題含有（或通過變形含有）已知條件中的“整體”才可以使用整體法。
二．整體法的解題策略
利用整體思想，把一些看似彼此獨立，實質(zhì)上緊密相連的量作為整體進行處理，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，提高分析問題和解決問題的能力。
事實上，有許多數(shù)學問題，如果我們糾纏于題目中的“細枝未節(jié)”，則解題過程冗繁，還有可能解不出，但若能統(tǒng)觀全局，用整體思想方法來處理，則可化繁為簡，出奇制勝。
學法指導
類型1 整體代入
例1 若a-2b=3，則9-2a+4b的值為___
【解析】把a-2b=3整體代入9-2a+4b=9-2(a-2b) =9-2×3=3
【點評】解決此類的常規(guī)方法是先求出a、b的值，然后代入求值，但將已知式整體代入到變形后的求值式，便十分簡捷地求得代數(shù)式的值。
類型2 整體換元
【點評】若把已知的兩個方程聯(lián)立為方程組，直接求x,y不易求出，同時要檢驗解的合理性。
類型3 整體變形
【點評】把變形后的1/2a-3b看作整體
類型4 整體代換
【點評】這里體現(xiàn)了一種整體代換的思想，之所以用A表示第一個多項式主要是為了書寫上的方便、運算過程的簡潔，還不容易出錯
類型5 整體加減
【點評】這里體現(xiàn)的是一種整體合并的思想，當已知出現(xiàn)了兩個方程的時候，可以考慮讓二者相加減得到要求的形式．
類型6 整體補形
例6 如圖所示
已知AD是△ABC的中線，BE交AC于點E,交AD于點F，且 AE=EF，求證：AC=BF
【解析】已知AD是△ABC的中線，可以通過作輔助線將三角形補全為平行四邊形。 如圖所示，延長AD到H，使DH=AD,連接BH、CH
∵BD =DC，DA =DH
∴四邊形ABHC為平行四邊形
∵AC=BH，∠BHD=∠CAD.
又∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA
∵∠EFA=∠BFD
∴∠BHD=∠BFH
∴BF=BH
∴BF=AC．
【點評]按照常規(guī)思路，要把AC、BF兩條線段移動到同一個三角形中，或者移動到兩個全等三角形中來證明，但是輔助線不易作，將三角形補全為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行且相等，可由等量代換來證得AC= BF。
類型7 整體改造
例7 有甲、乙、丙3種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4. 20元?，F(xiàn)在計劃購甲、乙、丙各一件，共需多少元？
【解析】設購甲、乙、丙各1件分別需x元、y元、z元
解關于x+3y、x+y+z的二元一次方程組，可得x+y+z= 1.05
即購甲、乙、丙各一件共需 1.05元，
【點評】因為要求的未知數(shù)有3個，而題設條件中只有兩個等量關系，所以要把甲、乙、丙每件的錢數(shù)求出來是不可能的，若把甲、乙、丙各一件的錢數(shù)看成一個，問體，問題就可解決。由于所關注的不是x，y，z的值，而是x+y+z整體的值，故解題目標明確，直奔主題即可。需要說明的是，這里用到了整體改造，通過改造使得每個方程中都有x+y+z這個整體，如果把x+3y、x+y+z設成其他未知數(shù)，那么就是整體換元思想。
類型8 整體合并
例8 已知：實數(shù)x、y滿足3x-7y=8，9x-5y=-2，則6x+2y=______
【解析】用9x-5y=-2減去3x-7y=8，可得6x+2y=-10
【點評】本題的常規(guī)思路是把3x-7y=8，9x-5y= -2聯(lián)立成二元一次方程組，解得x、y的值，再把x、y的值代入6x+2y得到答案，這樣處理雖然也可得到答案，但解題過程要比用整體合并思想繁雜得多
經(jīng)典例題
例1 利用整體法求值
若實數(shù)a、b滿足（4a+4b）（4a+4b-2)-8=0，則a+b=____
【解析】將（4a+4b）（4a+4b-2）- 8=0中的4a+ 4b看作個整體，
∴4a+4b-4=0，或4a+4b+2=0
∴a+b=1，或a+b=-1/2
【點評】本題中只有一個方程，卻有兩個未知數(shù)a、b，一般情況下，欲求出每個未知數(shù)是不可能的，因此考慮把所求的代數(shù)式a+b整體處理
例2 利用整體法解方程組
【解析】由②得：9(x+2y-3z)+43z=63 ④
將①代入④，得9×（-36）+43z=63
∴z=9
由③，得9x-4（x+2y- 3z）=207 ⑤
將①代入⑤，得9x-4×(-36) =207
∴x=7
將x=7，z=9代入①，得7+2y-3×9=-36
∴y=-8
【點評】本題打破了傳統(tǒng)的“消元”常規(guī)，視'x+2y-3z'為整體，使解方程組變更得輕松簡便，這種運用整體思想解方程組的方法，實質(zhì)上是一種技巧，是對特定的方程組而言的。
例3 利用整體法求陰影面積
如圖所示，
分別以n邊形的頂點為圓心，以單位為1的半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為___ 個平方單位
【解析】觀察圖形，陰影部分由n個扇形組成，若分別求出每一個扇形的面積然后求和是很難實現(xiàn)的。因此可整體思考：由于這n個圓的半徑都相等，且這n個圓心角度數(shù)之和正好是n邊形的外角和等于360度進而可解得：
【點評】本題運用整體處理的技巧，使看似困難的問題簡捷獲解
例4 利用整體法解反比例函數(shù)問題
如圖所示，
已知雙曲線y=k/x(x>0)經(jīng)過矩形OABC的邊AB、BC的中點F、E，且四邊形OEBF的面積為2，則k=___
【解析】設B點的坐標為( 2a，2b)，則E點的坐標為(a, 2b)，F(xiàn)點的坐標為（2a，b），所以k=2ab
因為4ab-1/2×2ab×2=2，所以2ab=2，即k=2
【點評】本題若直接計算k的值比較麻煩，采用的方法是首先設出點B的坐標，借助于坐標表示出圖形的面積，整體求解．
