“漢前世：樂音的數(shù)理基礎(chǔ)及12音純律音階”由漢前世（作者）創(chuàng)作而成。如果您想了解樂音的數(shù)理基礎(chǔ)及12音純律音階，請仔細(xì)閱讀下面的文章。希望您喜歡這篇文章。
1、前言
音樂直通人心，這背后是有它的自然屬性的。樂音與噪音不同；每個樂音都有著明確的基頻；同時一系列相關(guān)樂音間的基頻頻率都成簡單的整數(shù)比。這就是樂音的數(shù)理基礎(chǔ)。本文從這樣的數(shù)理基礎(chǔ)出發(fā)，考察樂音音列的生成邏輯，確證7音音律的地位，然后再沿著同樣的邏輯超越7音音律，構(gòu)造12音純律音階。
在這里我們不能不提到作為現(xiàn)代樂理基礎(chǔ)的12平均律。這是與自然律或純律相對照的人工律。它之所以能盛行，是出于技術(shù)上的妥協(xié)，一方面是為了方便鍵盤樂器和品弦樂器的運用，另一方面也是為了轉(zhuǎn)調(diào)的自由。12平均律之所以可行，其實正是在于它與7音純律音階的貼近。最大的差距出現(xiàn)在6=la這個音上，也只有16音分。
盡管12平均律音階相當(dāng)貼近地包含了7音純律音階，但它畢竟是工業(yè)時代的產(chǎn)物。如今我們已經(jīng)通過電子技術(shù)進(jìn)入了信息時代，依然受困于12平均律而享受不到比如純律的鍵盤音樂不能不說是一種委屈。
自古以來，人們憑著聽覺和心的自然感受，由簡到繁，建立起了各種各樣的樂音音列。最終則歸結(jié)到了1=do、2=re、3=mi、4=fa、5=so、6=la、7=ti 這樣的7音音列的最佳音律平臺，相應(yīng)的有大、小調(diào)兩種調(diào)式。在這里，我們僅從數(shù)理的角度去重建這一過程，認(rèn)識其中的邏輯。我們相信前人音樂實踐的結(jié)果一定是符合邏輯的。因而這些實踐結(jié)果也可以幫助我們認(rèn)識到其間的邏輯。
?。ㄗⅲ阂舴譃橐舫痰挠嬃繂挝?。倍頻、也就是8度音程按等比關(guān)系被設(shè)定為1200個音分。公式為：音分值=1200*log2（頻率比）。音程為兩個樂音之間的頻率差異，對于頻率差異我們自然地是從比率而不是算術(shù)差的角度去感知和考察的。使用對數(shù)函數(shù)的音分將等比關(guān)系轉(zhuǎn)換為等差關(guān)系，利于計量比較，但卻無法體現(xiàn)出整數(shù)比的關(guān)系。所以，當(dāng)我們關(guān)注純律、自然律中的樂音關(guān)系的時候，我們應(yīng)當(dāng)用成整數(shù)比的頻率比來表示音程。比如5=so的音程為3/2，也是702音分，非常接近平均律的700音分。）
2、獨特的8度音程
應(yīng)當(dāng)說最純的音是只有單一頻率的音。這在自然界中幾乎是不存在的。但如今可以借助電子技術(shù)發(fā)生。電腦開機時那“嘀”的一聲就是一例。這樣的聲音如果長鳴的話，其單調(diào)乏味很快就會讓人崩潰。自然發(fā)生的樂音，除了基頻外，一定都還有著豐富的泛音（基頻的倍頻、3倍頻、4倍頻、5倍頻……），這些泛音的存在及其強度分布的種種可能使得樂音豐滿、充實、并且多樣。
當(dāng)然，只有一個樂音，其表達(dá)能力還是相當(dāng)可憐的?？梢宰尣煌臉芬粝嗬^或同時響起。但是，如果兩個樂音之間的基頻不能成簡單的整數(shù)比，我們就會感受到兩個音之間的不諧乃至沖突以及我們發(fā)自內(nèi)心的排斥。在極端的情形，如果一個聲音在所有的聽覺頻譜上都有振動，就像金屬刮削的聲音，那么它就不是在提供信息，而是在淹沒信息，是我們尤其難以忍受的。
相反，如果兩個樂音的基頻之間能成簡單的整數(shù)比，我們就會感受到這兩個樂音之間的諧振，我們的聽覺和內(nèi)心就會感到適宜。這里有兩個原因。一方面，基頻間具有較簡單的整數(shù)比的兩個樂音會在各自較少的周期內(nèi)諧振，另一方面，這樣的兩個樂音會具有較多相同的泛音共鳴。整數(shù)比是越簡單越好?；l之間成簡單的整數(shù)比，是樂音音列生成的基本原則，或說第一原則。
最簡單的整數(shù)比自然是1/1。這是一個樂音和它自己的音程關(guān)系。是為0音分。這樣的音程的和諧度當(dāng)然是百分之百。我們這樣來定義整數(shù)比或音程的和諧度，設(shè)m、n為不可約的兩個自然數(shù)，那么， m/n的和諧度=2/（m n）。那么1/1的和諧度就是2/（1 1）=1=100%。雖和諧至極，但就像只有一個字母，據(jù)此雖在表達(dá)，也無所表達(dá)。毫無疑問我們需要不同的樂音。
接下來最簡單的整數(shù)比是2/1。當(dāng)然，對應(yīng)地也有1/2。但隨后我們盡量系統(tǒng)地從高比低的角度去考察和研究音程。需要時再反向探究一下。事實上，如果說大調(diào)式是從高比低的角度建立起來的音列，那么小調(diào)式就是相反地從低比高對稱建立起來的音列。
2/1為音程上的8度關(guān)系，計1200音分。是為不同樂音之間最和諧的音程，其和諧度為2/（1 2） =0.667=66.7%。
不管比2大還是小，都沒有比2/1更簡單的整數(shù)比。所以倍頻音程關(guān)系非常獨特。在這音程之內(nèi)和之外都不再有更和諧的音了。以至于在音樂上2倍音程或8度關(guān)系被視為同一個樂音在不同音域的表現(xiàn)。
2/1之后接下來一個簡單的整數(shù)比是3/1。然后有4/1、3/2、5/1、6/1、5/2、4/3……這中間穿插著4/1、6/1這樣的大比例和3/2、4/3這樣的小比例。由于適宜音樂表現(xiàn)的總的音程范圍一般也就3個2倍音程，顯然我們需要比兩倍音更細(xì)分的音程，盡管在和諧度上會遜于2倍音程。我們需在不大的音程范圍內(nèi)（確切地說是兩倍音程）找到盡量多的和諧音程，也就是簡單的整數(shù)比。這個可以說是樂音音列生成的第二原則。當(dāng)然這是從前述的第一原則引申出來的。
?。ㄒ舫讨小岸取钡倪@個術(shù)語這里有必要簡單交代一下。這個術(shù)語系基于7音音律。7音音列中相鄰兩個樂音之間的音程被稱為2度，估計是因為涉及到兩個音。但實際上其間只有一個音程。顯然這樣的用法不符合數(shù)學(xué)中的規(guī)范。這不，do-（re）-mi之間的音程為3度，而實際上涉及到的是兩個音程；而do-高音do之間的音程就成了8度，盡管其間跨過的是7個音程。這個只好習(xí)慣。）
3、雙音和弦及三和弦
我們要在2倍音程內(nèi)再插入一個盡量和諧的音，也就是要找到兩個盡量和諧的音程，這兩個音程加在一起為2倍音程，即8度音程。把這翻譯到數(shù)學(xué)上來，就是要找到兩個盡量簡單的整數(shù)比，這兩個整數(shù)比的積為2/1。這個不難；答案就是3/2和4/3：
上圖展示了本文接下來的表示規(guī)范。第一行為音程序列：1/1為本音；2/1為8度音；3/2*4/3為將8度音分割為3/2與4/3兩個音程。第二行為由相應(yīng)的音程分割而形成的音列：1/1為本音；3/2為上行第一個音程（這里為3/2）所得到的音；2/1為再上行第二個音程（這里為4/3）所得到的音。第三行為相應(yīng)音列的簡譜示例。
當(dāng)然，出于乘法的可交換性，對稱地有1/1*4/3*3/2=2/1，這也是對2/1音程的兩分。但我們這里先簡化研究，依照盡量與本音和諧的原則。回頭再考慮其它的可能。
以上形成的在8度范圍內(nèi)的2音音列在音樂上的意義是最和諧的雙音和弦：do-so和弦。所有的多弦樂器，最主要的兩根弦一定是do和so。
將2/1暨8度音程兩分為3/2和4/3兩個音程當(dāng)然還不夠細(xì)。接下來再將其中較大的音程3/2做盡量簡化的兩分。結(jié)果是：
依此得到2/1暨8度音程的盡量簡化的三分為：
這當(dāng)然就是最和諧的三和弦：大三和弦。
