線段的中點(diǎn)是幾何圖形中的一個(gè)特殊點(diǎn)．在解決與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，如果能適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線、巧妙地利用中點(diǎn)，則是處理中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵．但由于含有中點(diǎn)條件問(wèn)題的輔助線的作法靈活，不少同學(xué)難以掌握。下面就針對(duì)中點(diǎn)問(wèn)題舉例談?wù)剮追N添加輔助線的方法．
一、遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)
這種方法常用于解決三角形和梯形的有關(guān)問(wèn)題，主要是連接兩個(gè)中點(diǎn)作中位線，并利用其性質(zhì)．因此，在三角形中，已知三角形兩邊中點(diǎn)，連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn)，即可構(gòu)造三角形的中位線；在梯形中，已知梯形兩腰中點(diǎn)，連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn)，即可構(gòu)造梯形的中位線．
例1：如圖1，，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，射線BA、EF交于點(diǎn)G，射線CD、EF交于點(diǎn)H．求證：
．
分析：連接AC，并取其中點(diǎn)P，構(gòu)造△PEF，證明，再利用中位線的性質(zhì)即可得證．
證明：連接AC，取AC的中點(diǎn)P，連接PE、PF．
∵E為BC的中點(diǎn)，∴PE∥AB，，
同理PF∥CD，．
∵，∴，，
由PE∥AB ，得，
由PF∥CD，得．
說(shuō)明：已知三角形一邊的中點(diǎn)或梯形一腰的中點(diǎn)，常過(guò)中點(diǎn)作中位線．
二、遇到中點(diǎn)作中線
這種方法常用于解決直角三角形或等腰三角形的有關(guān)問(wèn)題，主要是運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線或等腰三角形底邊上的中線性質(zhì)．因此，遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)或等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，應(yīng)聯(lián)想到作中線．
例2：如圖2，△ABC中，，AD為高，E為BC的中點(diǎn)，求證：．
分析：在△ABC中，出現(xiàn)了Rt△ADC和Rt△ADB這兩個(gè)直角三角形；又因?yàn)?/span>E為BC的中點(diǎn)，即題目中有中點(diǎn)與直角三角形的條件．按照“遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)”的方法，可取Rt△ADC斜邊AC的中點(diǎn)F（或AB的中點(diǎn)），連接EF，即得△ABC的中位線；再依據(jù)“遇到中點(diǎn)作中線”的方法，連接DF，即得到Rt△ADC斜邊AC上的中線，然后只要證明即可．
證明：取AC的中點(diǎn)F，連接EF、DF．
∵E、F分別為BC、AC的中點(diǎn)，∴EF∥AB，．
∵AD是高，∴△ADC是直角三角形．
又∵F為斜邊AC的中點(diǎn)，∴，．
由EF∥AB，得．
又∵，∴．
∴．
說(shuō)明：若一點(diǎn)是直角三角形斜邊的中點(diǎn)或等腰三角形底邊的中點(diǎn)，則應(yīng)常想到作中線．
三、遇到中點(diǎn)倍長(zhǎng)線段
這種方法是指：若圖中出現(xiàn)由中點(diǎn)引出的線段，則應(yīng)常想到成倍延長(zhǎng)這一線段，可為解題提供更為廣闊的思路． 例3：如圖3，在△ABC中，已知D為BC邊中點(diǎn)，FD⊥ED于點(diǎn)D，交AB、AC于點(diǎn)F、E．求證：．
分析：待證的線段BF、CE、EF之間沒(méi)有明顯關(guān)系。但點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故應(yīng)考慮倍長(zhǎng)ED（倍長(zhǎng)FD也可）
到點(diǎn)G，連結(jié)BG、FG，則：△BGD≌△CED，所以，又因?yàn)?/span> FD⊥ED ，則，這樣就把
BF、CE、EF轉(zhuǎn)移到了△BFG中，再利用三角形三邊關(guān)系即可證得結(jié)論．
證明：延長(zhǎng)ED到G，使．
∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴，
又∵，
∴△BGD≌△CED，
∴；
在△FGE中，
∵，FD⊥ED，∴，
在△FGE中，，
∴．
說(shuō)明：“倍長(zhǎng)線段”法在解題過(guò)程中有著很重要的作用，通過(guò)倍長(zhǎng)相應(yīng)的線段，再結(jié)合相應(yīng)的條件
可得到全等三角形，從而可轉(zhuǎn)移邊、角．但須注意它的使用前提是已知條件中存在著線段的中點(diǎn)． 四、遇到中點(diǎn)，且結(jié)論為比例式時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線
在解決有些幾何問(wèn)題中，盡管遇到了中點(diǎn)，但要證明的結(jié)論是比例式，此時(shí)可考慮過(guò)中點(diǎn)作平行線．
例4：如圖4，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F、E．
求證：．
分析：AD是中線，則D為BC的中點(diǎn)，要證明的結(jié)論為比例式，且AE、ED又不在一個(gè)三角形內(nèi)，為此，可過(guò)D點(diǎn)作DM∥AB，可知DM是△BFC的中位線．則有．同時(shí)又可證得△AEF∽△DME，則有，接下去利用等量代換即可證得結(jié)論成立．
證明：過(guò)點(diǎn)D作DM∥AB交CE于M，則：
．
∵，DM∥AB，
∴，DM是△BCF的中位線，
∴．
在△AEF與△DME中，
，
，
∴△AEF∽△DME，
∴，
∴，
即．
[注：此例也可按照“遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)”的方法，取FC的中點(diǎn)M，然后連接DM．]
說(shuō)明：中點(diǎn)是圖形中的特殊點(diǎn)，中線、中位線是三角形中的特殊線段，在解題中，如果能靈活運(yùn)用與它們相關(guān)的性質(zhì)，巧作輔助線，可使許多問(wèn)題迅速得到解決．
五、遇到線段垂直平分線上的點(diǎn)，則常將這一點(diǎn)與線段的端點(diǎn)連接起來(lái)
由于“線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，所以可根據(jù)這一性質(zhì)定理，若遇到線段垂直平分線上的點(diǎn)，則常將這一點(diǎn)與線段的端點(diǎn)連接起來(lái)，往往可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)便，從而順利證得結(jié)論成立．
例5、如圖5，設(shè)P是等邊△ABC的BC邊上任一點(diǎn)，連接AP，作AP的中垂線交AB、AC于M、N．求證：．
分析：連接PM、PN．因?yàn)?/span>MN是AP的中垂線，所以，，則△MPN≌△MAN，于是有．
又由于，可得：，于是有△BPM∽△CNP，于是可證得．
證明：連接PM、PN．
在△MPN與△MAN中，
∵MN是AP的中垂線，
∴，，
MN是公共邊，
∴△MPN≌△MAN（SSS），
∴，
又∵
∴，
∴△BPM∽△CNP，
∴．
從上述幾例含有中點(diǎn)條件的問(wèn)題可以看出，在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，或題中已知條件出現(xiàn)了中點(diǎn)與其它條件的組合，則要由中點(diǎn)聯(lián)想到作三角形的中線、中位線，或加倍延長(zhǎng)線段等方法添加輔助線，然后依據(jù)相關(guān)性質(zhì)，通過(guò)探索，即可迅速找到解決問(wèn)題的途徑或方法．
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