1.【定義】
所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設(shè)）出發(fā)，按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出其他命題，建立起一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法。
2.【公理化的準(zhǔn)則及目的】
數(shù)學(xué)公理化的目的是要把一門(mén)數(shù)學(xué)整理成為一個(gè)演繹系統(tǒng)，而這一系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)就是一組基本概念和公理．因此，要建立一門(mén)數(shù)學(xué)的演繹系統(tǒng)，就要在第一步的基礎(chǔ)上，從原有的資料、數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)中選擇一些基本概念和確定一組公理，然后由此來(lái)定義其它有關(guān)概念并證明有關(guān)命題．選取的基本概念是不定義概念，必須是無(wú)法用更原始、更簡(jiǎn)單的概念去確定其涵義的，也就是說(shuō)，它是高度純化的抽象，是最原始最簡(jiǎn)單的思想規(guī)定． 在確定了基本概念和公理之后，就要由此出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，將一門(mén)數(shù)學(xué)展開(kāi)成一個(gè)嚴(yán)格的理論系統(tǒng)．也就是說(shuō)，對(duì)系統(tǒng)中的每一概念予以定義，而每一個(gè)定義中引用的概念必須是基本概念或已定義過(guò)的概念；對(duì)其它每一命題都給予證明，而在證明中作為論據(jù)的命題必須是公理或者已經(jīng)證明為真實(shí)的定理．因此，一門(mén)數(shù)學(xué)的演繹系統(tǒng)就是這門(mén)數(shù)學(xué)的基本概念、公理和定理所構(gòu)成的邏輯的鏈條．
在上述過(guò)程中，從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)看，任何公理系統(tǒng)的原始概念和公理的選取必須反映現(xiàn)實(shí)對(duì)象的本質(zhì)和關(guān)系．就是說(shuō)，應(yīng)該有它真實(shí)的直觀背景而不是憑空臆造．其次，從邏輯的角度看，則不能認(rèn)為一些概念和公理的任意羅列就能構(gòu)成一個(gè)合理的公理系統(tǒng)，而一個(gè)有意義的公理系統(tǒng)必須是一個(gè)邏輯相容的體系．
3.【公理化的作用與影響】
談到數(shù)學(xué)公理化的作用，至少可以舉出如下四點(diǎn)：
(1)這種方法具有分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)的作用．凡取得了公理化結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)，由于定理與命題均已按邏輯演繹關(guān)系串聯(lián)起來(lái)，故使用起來(lái)也較方便．
(2)公理化方法把一門(mén)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)分析得清清楚楚，這就有利于比較各門(mén)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)性異同，并能促使和推動(dòng)新理論的創(chuàng)
(3)數(shù)學(xué)公理化方法在科學(xué)方法論上有示范作用．這種方法對(duì)現(xiàn)代理論力學(xué)及各門(mén)自然科學(xué)理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用．例如，20世紀(jì)40年代波蘭的Banach曾完成了理論力學(xué)的公理化，而物理學(xué)家亦把相對(duì)論表述為公理化形式……
(4)公理化方法所顯示的形式的簡(jiǎn)潔性、條理性和結(jié)構(gòu)的和諧性確實(shí)符合美學(xué)上的要求，因而為數(shù)學(xué)活動(dòng)中貫徹審美原則提供了范例．
【公理系統(tǒng)的相容性證明】
一個(gè)公理系統(tǒng)的相容性是至關(guān)重要的，因?yàn)橐粋€(gè)理論體系不能矛盾百出．而獨(dú)立性和完備性的要求則是次要的．因?yàn)樵谝粋€(gè)理論體系中，如果有多余的公理，對(duì)于理論的展開(kāi)沒(méi)什么妨礙；如果獨(dú)立的公理不夠用，數(shù)學(xué)史上常常補(bǔ)充一些公理，逐步使之完備．
【問(wèn)題的產(chǎn)生及歷史發(fā)展背景】
關(guān)于相容性征明這一概念的產(chǎn)生和歷史發(fā)展的背景是這樣的：自從羅巴切夫斯基幾何誕生后，由于羅氏平行公理(過(guò)平面上一已知直線外的一點(diǎn)至少可以引兩條直線與該已知直線平行)如此地為常識(shí)所不容，這才真正激起了人們對(duì)于數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性證明的興趣和重視．后來(lái)，龐加萊(Poincare‘，1854-1912)在歐氏半平面上構(gòu)造了羅氏幾何的模型，把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過(guò)一個(gè)模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明，但卻由此導(dǎo)致了人們對(duì)歐氏系統(tǒng)相容性的重重疑慮．幸虧那時(shí)已經(jīng)有了解析幾何，這就等于在實(shí)數(shù)系統(tǒng)中構(gòu)造了一個(gè)歐氏幾何的模型．這就把歐氏幾何的無(wú)矛盾性歸結(jié)到了實(shí)數(shù)論的相容性．那么實(shí)數(shù)論的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的分劃，也即有理數(shù)的無(wú)窮集合，因而把這個(gè)無(wú)矛盾性歸結(jié)到了自然數(shù)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性．又由于弗雷格( Frege，1848-1925)的自然數(shù)的概念是借助集合的概念加以定義的，因此，歸來(lái)歸去還是把矛盾集中到集合論那里去了．那么集合論的相容性如何？事實(shí)上，集合論的相容性正處于嚴(yán)重的“危機(jī)”之中，以致這種相容性的證明至今還未解決．
【龐加萊模型和相對(duì)相容性證明】
龐加萊為證明羅氏幾何的相容性，在歐氏系統(tǒng)中構(gòu)造了一個(gè)羅氏幾何的模型．即在歐氏平面上劃一條直線a將其分成上、下兩個(gè)半平面，把不包括這條直線在內(nèi)的上半平面作為羅氏平面，其上的歐氏點(diǎn)當(dāng)作羅氏幾何的點(diǎn)，把以該直線上任一點(diǎn)為中心，任一長(zhǎng)為半徑的半圓周作為羅氏幾何的直線，然后對(duì)如此規(guī)定的羅氏幾何元素一一驗(yàn)證羅氏平行公理是成立的。過(guò)羅氏平面上任一羅氏直線l外的一點(diǎn)P，確實(shí)可以作出兩條羅氏直線與l平行．因?yàn)闅W氏直線a上的點(diǎn)不是羅氏幾何系統(tǒng)的元素，所以兩個(gè)半圓相交于直線a上某一點(diǎn)則應(yīng)看作相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，從而在有窮范圍內(nèi)永不相交。
這樣以來(lái)，如果羅氏系統(tǒng)在今后的展開(kāi)中出現(xiàn)了正、反兩個(gè)互相矛盾的命題的話，則只要按上述規(guī)定之幾何元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行翻譯，立即成為互相矛盾的兩個(gè)歐氏幾何定理．從而歐氏系統(tǒng)就矛盾了．因此，只要承認(rèn)歐氏系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，那么羅氏系統(tǒng)一定也是相容的．這就把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過(guò)上述龐卡萊模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明．這種把一個(gè)公理系統(tǒng)的相容性證明化歸為另一個(gè)看上去比較可靠的公理系統(tǒng)的相容性證明，或者說(shuō)依靠一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性來(lái)保證另一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性叫做數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相對(duì)相容性證明．
【相容性證明對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響】
由于相對(duì)相容性的出現(xiàn)，使人們對(duì)歐氏系統(tǒng)的相容性也憂心重重．而更糟的是，在羅氏系統(tǒng)的展開(kāi)中人們又發(fā)現(xiàn)，羅氏幾何空間的極限球面上也可構(gòu)造歐氏模型，即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實(shí)現(xiàn)，于是歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來(lái)保證！這說(shuō)明歐氏與羅氏的公理系統(tǒng)雖然不同，但卻是互為相容的．人們當(dāng)然不滿足于兩者互相之間的相對(duì)相容性證明，因?yàn)榭瓷先ポ^為合理的歐氏系統(tǒng)的無(wú)矛盾性竟要由看上去很不合理的羅氏系統(tǒng)來(lái)保證，這是難以令人滿意的．于是人們開(kāi)始尋求直接的相容性證明，本世紀(jì)初數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論就誕生了．由于在這一工作中所持的基本觀點(diǎn)不同，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的研究中形成了諸如邏輯主義派、直覺(jué)主義派和形式公理學(xué)派三大流派．這些流派雖然并未最后解決相容性證明問(wèn)題，但在方法論上卻各有貢獻(xiàn)，他們的方法論、思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)的研究與發(fā)展都具有重要的意義，有些還值得進(jìn)一步分析、探討、繼承和發(fā)展．
7樓
附：【龐加萊猜想】
在1904年發(fā)表的一組論文中，龐加萊提出以下猜想：任一單連通的、封閉的三維流形與三維球面同胚。 上述簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是：每一個(gè)沒(méi)有破洞的封閉三維物體，都拓?fù)涞葍r(jià)于三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果表面的橡皮帶，那我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。圖：
曾經(jīng)為公理化發(fā)展做出貢獻(xiàn)的人：
1.歐幾里德
公理學(xué)研究的對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系稱為“論域”，這些對(duì)象、性質(zhì)和關(guān)系，由初始概念表示．例如歐氏《幾何原本》中只需取“點(diǎn)”、“直線”、“平面”；“在……之上”、“在……之間”、“疊合”作為初始概念．前三個(gè)概念所表示的三類對(duì)象和后三個(gè)概念所表示的三種關(guān)系就是這種幾何的論域．按照“一個(gè)公理系統(tǒng)只有一個(gè)論域”的觀點(diǎn)建立起來(lái)的公理學(xué)，稱為實(shí)質(zhì)公理學(xué)．這種公理學(xué)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)整理，公理一般具有自明性．因此，歐氏《幾何原本》就是實(shí)質(zhì)公理學(xué)的典范．
2.波爾約
19世紀(jì)，青年波爾約產(chǎn)生了與前人完全不同的信念：首先，他認(rèn)為第五公設(shè)不能以其余的公理作為定理來(lái)證明；其次，除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何之外，還可能有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在．于是，他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下，引進(jìn)與第五公設(shè)相反的公理，從而構(gòu)造了一個(gè)全新的幾何系統(tǒng)，它與歐氏幾何系統(tǒng)相并列．后來(lái)人們又證明了這兩個(gè)部分地相矛盾的幾何系統(tǒng)竟是相對(duì)相容的，即假定其中之一無(wú)矛盾，則另一個(gè)必定無(wú)矛盾，這樣以來(lái)，只要這兩個(gè)系統(tǒng)是無(wú)矛盾的，第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理就必定獨(dú)立無(wú)關(guān)．
波爾約曾將成果送給高斯過(guò)目。但由于高斯害怕與康德空間哲學(xué)相抵觸，是俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基得到先機(jī)?，F(xiàn)在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學(xué)，并把一切不同于歐氏幾何公理系統(tǒng)的幾何系統(tǒng)統(tǒng)稱為非歐幾何．
3.帕斯（不太出名~
）
德國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通過(guò)對(duì)射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想．他認(rèn)為，幾何學(xué)如果要成為一門(mén)真正的演繹科學(xué)，最根本的是推導(dǎo)的進(jìn)行必須完全獨(dú)立于幾何概念的涵義，同樣地也必須不以圖形為依據(jù)，而所考慮的只能是被命題或定義所確定的幾何概念的關(guān)系。有些公理雖然是由經(jīng)驗(yàn)提出來(lái)的，但當(dāng)選出一組公理之后，必須不再涉及經(jīng)驗(yàn)及物理意義．公理決不是自明的真理，而是用以產(chǎn)生任一特殊幾何的假定．帕斯的這些思想已經(jīng)表達(dá)了形式公理系統(tǒng)的特征．
4.希爾伯特
希爾伯特幾何公理系統(tǒng)，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術(shù)模型)，所以它是一個(gè)形式公理系統(tǒng)，可以把其初始概念和公理看成是沒(méi)有數(shù)學(xué)內(nèi)容的，數(shù)學(xué)內(nèi)容是通過(guò)解釋賦予它們的，初始概念和公理完全可以用形式語(yǔ)言來(lái)陳述．因此，自從《幾何學(xué)基礎(chǔ)》問(wèn)世以后，不僅公理化方法進(jìn)入了數(shù)學(xué)的其它各個(gè)分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的階段．
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