| 美妙的幻方 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 據(jù)傳說，大約公元前2000年前的時候，位于陜西的洛河常常泛濫成災，威脅著兩岸人們的生活與生產(chǎn)。于是，大禹日夜奔忙，三過家門而不入，帶領(lǐng)人們開溝挖渠，疏通河道，馴服了河水，感動了上天。事后，一只神龜從河中躍出，馱著一張圖獻給大禹。圖上有九個數(shù)字。大禹因此得到上天賜給的九種治理天下的方法。這張圖，就是聞名于世的洛書，見圖1。洛書中每個小圓圈都代表一個l。所以把它寫成現(xiàn)在的形式就是圖2。 
圖 1
圖 2 三階幻方是怎樣構(gòu)造出來的呢？我國宋朝數(shù)學家楊輝給出了一種簡便的方法：如圖3，將1至9九個數(shù)字斜著排列，然后把上下兩個數(shù)字1和9對調(diào)，左右兩個數(shù)字7和3對換，得到圖4。再將圖4中的上下左右四個數(shù)字9，1，3，7分別寫進與它相鄰的空格中，就得到前述的圖2。  圖 3  圖 4 不僅如此，楊輝對幻方還進行了較系統(tǒng)的研究，他是世界上第一位把幻方當作數(shù)學問題來研究的數(shù)學家。他構(gòu)造出多種幻方，其中之一就是圖5。它是由十六個數(shù)字組成的一種正方排列，其中每行每列、每條對角線上的數(shù)字和都是34。
圖 5 圖 6 在四階幻方中，一個頗為著名的幻方是印度太蘇神廟石碑上的幻方，如圖7，它刻于十一世紀。這個幻方中，不但每行每列每條對角線上的數(shù)字和為34，而且有20組某兩行兩列交叉點上的四個數(shù)字，它們的和也都為34，例如9+2+15+8=34。更為奇妙的是把這個幻方邊上的行或列移到另一邊上去，所得到的正方形排列仍是一個幻方。
大約十五世紀，我國的縱橫圖傳到歐洲，引起了人們的普遍興趣，成千上萬的人沉醉于幻方之中。德國畫家丟勒（1427—1528）就是其中的一位。他找到了一個四階幻方，如圖8，并把它反映在他的著名版畫《憂郁癥》中。它也許是歐洲最早的幻方。有趣的是，丟勒在這一幻方中把版畫創(chuàng)作的年代1514也放了進去。他可能正是從這兩個數(shù)出發(fā)，通過不斷的試驗而找出了其余的數(shù)字。
圖9是一個五階幻方，其中隱藏著一條絕妙的性質(zhì)：幻方中的每個數(shù)字減去中心位置數(shù)字12后，得到一個這樣的幻方（如圖10），它的中心對稱或軸對稱上的兩個數(shù)字互為相反數(shù)，并且中間位置上的九個數(shù)字也構(gòu)成一個幻方。更值得一提的是，圖10中隱含了如何由三階幻方出發(fā)構(gòu)造五階幻方，又進而由五階幻方構(gòu)造出七階幻方，等等行之有效的方法，限于篇幅，這里就不作介紹了。 除了上面提及的一類方形幻方外，其它類型的幻方也各具風彩，深受人們的喜愛。
在幻方中，最為稀有的幻方莫過于六角幻方，如圖12。它的十五條直線上的數(shù)字和都為19的2倍38。它是由一位名叫阿當斯的人，經(jīng)過四十多年的不懈努力才搞出來的。它的完美形式令人贊嘆不已，他的鍥而不舍的精神更感人至深。 過去，幻方僅作為一種游戲，近代已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，幻方在計算機程序設(shè)計、圖論、人工智能、對策論、組合分析等方面有廣泛的應用。
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