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到十九世紀(jì)李善蘭的《垛積比類》集中算史上垛積之大成，乃有進(jìn)一步發(fā)揮。 在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了李善蘭恒等式和「尖錐術(shù)」等一系列優(yōu)秀成果。 
縱橫圖 
即現(xiàn)代所謂幻方（ Magic Square ），一般是指由1到n的連續(xù)自然數(shù)組成的一個(gè)方陣，每行、每列及兩條對(duì)角線上的n個(gè)數(shù)之和均相同，至遲在戰(zhàn)國(guó)時(shí)代已經(jīng)出現(xiàn)，被稱為洛書或九宮，但在后來的一千多年中并無進(jìn)一步發(fā)展。 
洛書顯然是一個(gè)三階幻方，其橫 、 縱 、對(duì)角線各行三數(shù)之和都是十五。 據(jù)北周甄鷥注《數(shù)術(shù)記遺》： 「九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央」，是世界上最古老的三階幻方 。 
洛書 
4 9 2 
3 5 7 
8 1 6 

楊輝在他的《續(xù)古摘奇算法》中創(chuàng)「縱橫圖」之名，收入幻方十三個(gè)，包括：洛書數(shù)（三階幻方）一，花十六圖（四階幻方）二，五五圖（五階幻方）二，六六圖（六階幻方）二，衍數(shù)圖（七階幻方）二，易數(shù)圖（八階幻方）二，九九圖（九階幻方）一，百子圖（十階幻方）一，另外還有聚五、聚六、聚五、攢九、八陣、連環(huán)諸圖，是一些呈圓形的數(shù)學(xué)陣，具有與幻方類似的性質(zhì)。 楊輝不僅記了許多幻方，而且對(duì)于奇數(shù)階 3 n 階及雙數(shù)階幻方提示了具有一般性的造方法，成為中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一位對(duì)幻方進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)學(xué)探討的數(shù)學(xué)家。 此外，明代王文素著的《算學(xué)寶鑒》中亦有記載多種縱橫圖，程大位著的《算法統(tǒng)宗》在卷17里載有14種縱橫圖。 清代方中通的《數(shù)度衍》在卷首之一的「九九圖說」后附有14種縱橫圖，它與楊輝著作中的基本上相同。 歐洲的同類工作直到十六世紀(jì)才得以系統(tǒng)地展開。 
46 8 16 20 29 7 49 
3 40 35 36 18 41 2 
44 12 33 23 19 38 6 
28 26 11 25 39 24 22 
5 37 31 27 17 13 45 
48 9 15 14 32 10 47 
1 43 34 30 21 42 4 
衍數(shù)圖（七階幻方） （縱橫斜175 ） 
31 76 13 36 81 18 29 74 11 
22 40 58 27 45 63 20 38 56 
67 4 49 72 9 54 65 2 47 
30 75 12 32 77 14 34 79 16 
21 39 57 23 41 59 25 43 61 
66 3 48 68 5 50 70 7 52 
35 80 17 28 73 10 33 78 15 
26 44 62 19 37 55 24 42 60 
71 8 53 64 1 46 69 6 51 
九九圖（九階幻方） （縱橫斜369 ） 
右圖是楊輝的九九圖，可以清楚地看出他以三階幻方為基礎(chǔ)構(gòu)造一般的3 n階幻方的嘗試： 
這一九階幻方明顯地劃分為九個(gè)階方陣，每個(gè)三階為陣的各數(shù)都由九的倍數(shù)加上圖中藍(lán)色方框中的數(shù)字構(gòu)成，且結(jié)構(gòu)完全一致，其和諧、對(duì)稱，富有規(guī)律，在數(shù)學(xué)上達(dá)到了十分優(yōu)美的境界。 體現(xiàn)了楊輝幻方研究的高度理論水準(zhǔn)。 
1 20 21 40 41 60 61 80 81 100 
99 82 79 62 59 42 39 22 19 2 
3 18 23 38 43 58 63 78 83 98 
97 84 77 64 57 44 37 24 17 4 
5 16 25 36 45 56 65 76 85 96 
95 86 75 66 55 46 35 26 15 6 
14 7 34 27 54 47 74 67 94 87 
88 93 68 73 48 53 28 33 8 13 
12 9 32 29 52 49 72 69 92 89 
91 90 71 70 51 50 31 30 11 10 
百子圖（十階幻方） （縱橫斜505 ） 
尖錐術(shù) 
公元 1845 年李善蘭在其《方圓闡釋》一書中建立了一套相當(dāng)于簡(jiǎn)單形式的積分學(xué) — 尖錐術(shù)理論，提出： 
體積是由面積積迭而成，面積是由線段積迭而成。 
體積可變?yōu)槊娣e，面積可變?yōu)榫€段。 

勾股形 

勾股形為什么在中國(guó)古代直角三角形會(huì)叫「勾股形」呢? 
原來，中國(guó)古代在進(jìn)行天文測(cè)量時(shí)，在地上一根木竿，叫做「表」。 
「表」在地面上投射出一道日影，于是表和日影構(gòu)成了一個(gè)直角三角形的兩條直角邊。 中國(guó)古代就把直角三角形稱為「勾股形」，「表」那條直角邊稱為「勾」，日影那條直角邊稱為「股」，勾股形的斜邊稱為「弦」 。 
測(cè)出勾股的長(zhǎng)度，便可以粗略地 推算出太陽的高度。