分析概念的嚴(yán)密化是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的起點(diǎn)。
由於17世紀(jì)Newton，Leibniz在微積分上的卓越工作，函數(shù)、級(jí)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等工具給人們的研究提供了極大的方便。然而引入Newton-Leibniz公式所包含的極限的概念當(dāng)時(shí)并沒有得到嚴(yán)格的證明；所以後續(xù)的數(shù)學(xué)家們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)一些悖論和爭論。這些問題的最終來源是導(dǎo)數(shù)和積分基本概念的定義。
Abel在1826年給ChristofferHansteen的信中寫道：在高等分析中，只有極少的定理是用邏輯上站得住腳的方式證明的；人們從沒有嚴(yán)格地對(duì)待過分析，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)了驚人的含糊不清之處。而這樣一個(gè)完全沒有計(jì)劃和體系的分析，竟然只導(dǎo)致了極少個(gè)所謂的悖論。
一些數(shù)學(xué)家決心從這種混沌中整理出一個(gè)秩序出來。Cauchy和Weierstrass這方面的著作最為著名。Cauchy發(fā)表了分析學(xué)的基本教程《代數(shù)分析教程》《無窮小分析教程》以及《微分計(jì)算教程》。當(dāng)然，Cauchy關(guān)於無窮小、極限的概念敘述在今天看來并不嚴(yán)密；不過他的工作確實(shí)向嚴(yán)密化發(fā)展的第一步。Abel曾高度贊揚(yáng)Cauchy的成就：每一個(gè)在數(shù)學(xué)研究中喜歡嚴(yán)密性的人都應(yīng)該讀《分析教程》。
何為函數(shù)？19世紀(jì)的數(shù)學(xué)書上如是定義：函數(shù)就是Y隨X依某一規(guī)律變化。但這一概念是模糊的；何為規(guī)律？Euler時(shí)代的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，所謂函數(shù)必須處處具有相同的解析表達(dá)。代數(shù)函數(shù)的概念是局限的；Fourier推廣了代數(shù)函數(shù)的概念，認(rèn)為函數(shù)對(duì)應(yīng)了平面上的一組點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)然，當(dāng)今最常用的定義是Dilichlet給出的：Y對(duì)於固定的X只有一個(gè)對(duì)應(yīng)，而不在於是否存在解析表達(dá)。他本人與1829年給出了Dilichlet函數(shù)的例子，即在有禮數(shù)上取1，無理數(shù)上取0的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)的特殊性決定了它在歷史上的價(jià)值：它是處處不連續(xù)的。
極限和連續(xù)性的概念開始受到一些數(shù)學(xué)家的重視。值得一提的是BernhardBolzano，他是波西米亞的神父、哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家。分析學(xué)基本定理Bolzano-Weierstrass定理目前為大家熟悉不過；但是他更廣為人知的成就是給出了函數(shù)連續(xù)性的恰當(dāng)定義，至今仍被采納。Cauchy的成就同樣旗鼓相當(dāng)：他給出了變量極限的定義，并舉了無理數(shù)作為有理數(shù)的極限的例子。此外，他正式引入了無窮小量的概念，從而澄清了Leibniz的一些模糊界定。第三個(gè)重要的數(shù)學(xué)家是Weierstrass，他消除了Bolzano和Cauchy表述中常用的短語“變?yōu)榍倚§度我饨o定的量”的不明確性，給出了目前最為規(guī)範(fàn)的無窮小量的定義，以及分析學(xué)的研究基礎(chǔ)epsilon-delta語言規(guī)範(fàn)。
在連續(xù)性概念不斷精細(xì)的年代，爲(wèi)了嚴(yán)密地建立分析，人們建立了許多原先已被直觀接收的定理。Bolzano在研究連續(xù)函數(shù)中值定理的時(shí)候，建立了有界實(shí)數(shù)集上確界的存在；Weierstrass應(yīng)用Bolzano的方法證明了有界點(diǎn)列必有收斂子列，即著名的Bolzano-Weierstrass定理。他又進(jìn)一步證明了Cauchy引用過的一個(gè)猜想：有界閉集上的連續(xù)函數(shù)必有最值存在。在他的思想的鼓舞下，Heine定義了單變量或多變量函數(shù)的一致連續(xù)性，而後證明瞭有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的；在他的證明中引入了有限覆蓋定理，這個(gè)定理的重要性被法國數(shù)學(xué)家Emile-Borel加以強(qiáng)調(diào)，就是今天的Heine-Borel有限覆蓋定理。確界存在定理、Bolzano-Weierstrass定理、最值存在定理、一致連續(xù)性定理、有限覆蓋定理，以及後來的區(qū)間套定理，構(gòu)成了實(shí)數(shù)域上分析理論的六大基石。
有了連續(xù)和極限的概念，導(dǎo)數(shù)的概念也就不言自明了。但是大多數(shù)數(shù)學(xué)家依然相信：連續(xù)性和可微性之間并無差別，只有Bolzano給出過一個(gè)處處不可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)的例子。但是這個(gè)例子并沒有引起其他人的注意。Riemann在1854年發(fā)表了一個(gè)病態(tài)函數(shù)的例子，闡明了連續(xù)性和可微性的差別。然而最經(jīng)典的病態(tài)函數(shù)例子是Weierstrass在1794年給出的。這些病態(tài)函數(shù)的例子的意義是重大的，它使相互學(xué)家們更加不敢相信直觀或者幾何的思考了。
至於積分的概念，雖然Newton-Leibniz公式已被廣為接受，但是其中微元的概念很不嚴(yán)謹(jǐn)。Cauchy研究了連續(xù)函數(shù)的積分性質(zhì)；但是連續(xù)性并非積分存在的充分條件。Riemann給出了有限區(qū)間上有界函數(shù)積分的存在性的充要條件，而這個(gè)條件被Darboux闡述的更加完全，即積分存在等價(jià)于Darboux上和下和相等。它還力圖證明，有界函數(shù)可積的充要條件是間斷點(diǎn)的“測度”為零，但是當(dāng)時(shí)還沒有建立完善的測度理論。不過在實(shí)變函數(shù)論發(fā)展以後，函數(shù)可積的性質(zhì)被更加清晰的認(rèn)識(shí)。
數(shù)學(xué)分析的三大板塊是微分、積分和級(jí)數(shù)。18世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)家不加辨別地使用無窮級(jí)數(shù)，然而在無窮級(jí)數(shù)收斂性未加證明的情況下，人們開始得到一些荒謬的運(yùn)算結(jié)果。這促使數(shù)學(xué)家研究無窮級(jí)數(shù)運(yùn)算的合法性。Bolzano和Cauchy建立了級(jí)數(shù)收斂的正確概念，當(dāng)然目前級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則主要?dú)w功于Cauchy，這是因?yàn)锽olzano工作相對(duì)低調(diào)的緣故。Cauchy給出了級(jí)數(shù)收斂的準(zhǔn)則，包括比值判別法、階數(shù)判別準(zhǔn)則。但是他忽視了一致收斂性的要求，致使在級(jí)數(shù)積分和微分方面得到了錯(cuò)誤的結(jié)果。Abel在研究函數(shù)級(jí)數(shù)的連續(xù)性時(shí)，實(shí)際上引入了一致收斂的思想，但并未把這個(gè)概念抽調(diào)出來。一致收斂性意義下級(jí)數(shù)積分微分的概念，最終還是由Weierstrass完成的。
Fourier級(jí)數(shù)值得單獨(dú)一提；它實(shí)際上代表了實(shí)數(shù)域上的Hilbert函數(shù)空間。但是在Fourier引入之初，Cantor、Heine對(duì)Fourier級(jí)數(shù)的收斂性、唯一性給出了證明。雖然如今站在泛函分析的高度來看，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的收斂、唯一性的概念已經(jīng)相對(duì)初級(jí)，但是人類在認(rèn)識(shí)任何事物的普遍性都是從它的特殊性入手的。從這個(gè)意義上看，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的研究是里程碑式的。Cantor在1872年研究Fouier收斂點(diǎn)集性質(zhì)的時(shí)候，引入了導(dǎo)集的概念，而這些工作奠定了集合論的基礎(chǔ)。
在分析嚴(yán)密化的進(jìn)程中，曾今引來無數(shù)的爭論；尤其是期間引入的那些病態(tài)函數(shù)，被認(rèn)為在純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)中是不會(huì)出現(xiàn)的，違背了古典研究中完美的法則，被看作是無秩序和混亂的標(biāo)誌。但是歷史證明了分析嚴(yán)密化的重要性，它建立了分析學(xué)領(lǐng)域的一套理論標(biāo)準(zhǔn)，使得之前不確定的模糊的概念得到了明確的界定，解決了數(shù)學(xué)史上許多爭論；此外，分析學(xué)的嚴(yán)密化為人們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)域、空間提供了標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的完備邏輯體系，正是從這裡開始的。
分析的那些人和事（二）
19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了一系列奇怪的現(xiàn)象：連續(xù)不可微函數(shù)的存在，連續(xù)函數(shù)的級(jí)數(shù)不是連續(xù)函數(shù)，不鑄鍛單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，具有有界的但不是Riemann可積的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，可求長的但不符合微積分中弧長定義的曲綫。爲(wèi)了弄清這些概念，一元或多元實(shí)變函數(shù)論終於誕生了。它促使人們對(duì)函數(shù)空間有了更深刻的理解。
事實(shí)上，關(guān)於積分概念在1894年得到了第一次擴(kuò)充，但它不是從剛才所說的解決問題中得到的。Stieltjes1894年發(fā)表了他的《連分?jǐn)?shù)的研究》，所涉及到的方法都是獨(dú)創(chuàng)性的。他爲(wèi)了表示一個(gè)解析函數(shù)序列的極限，引進(jìn)了一種新的積分，就是Stieltjes積分。Stieltjes積分中，微分的對(duì)象不再是自變量x本身，而是一個(gè)沿著直線分布的任意函數(shù)；Newton，Darboux積分中對(duì)x軸上的所有點(diǎn)取相同的權(quán)重計(jì)算Darboux和；Stieltjes則推廣了直線上各點(diǎn)的權(quán)重分布。不過他的積分并未被廣為采用；而在當(dāng)今，他的積分方法已經(jīng)成為概率論中最最基本的工具。
Lesbegue積分沿著另一個(gè)方向?qū)Ψe分進(jìn)行了擴(kuò)充。Lesbegue積分的基礎(chǔ)就是對(duì)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)集進(jìn)行度量，這催生了容量理論。容量理論基於下面的思想：假設(shè)E是按照某種方式分布在直線上的點(diǎn)集，它們總可以被一些區(qū)間所覆蓋，E中的點(diǎn)或者是這些子區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)，或者為它們的端點(diǎn)。我們可以不斷縮短這些區(qū)間的總長度，也可以添加其它區(qū)間，但是保證區(qū)間總長度減小，而E始終包含于這些區(qū)間當(dāng)中。這些區(qū)間總長度的下確界，就定義為集合E的外容量。外容量的概念是Du Bois-Reymond首先在他的《一般函數(shù)論》中提出的。Stolz和Cantor將區(qū)間用高維空間中的矩集代替，從而將外容量的概念推廣到Rn空間中。
容量的概念揭露了正容量的無處稠密集的存在。類Cantor集，又稱Hanark集合，就是這樣一個(gè)例子。以這樣一個(gè)集合作為不連續(xù)點(diǎn)集的函數(shù)是Riemann不可積的。為解決這一問題，Peano進(jìn)一步引入了一個(gè)內(nèi)容量的概念，將二維平面上圖形的內(nèi)容量定義為包含在圖形內(nèi)部多邊形面積的上確界，並且指出：不連續(xù)點(diǎn)集的外容量和內(nèi)容量相等時(shí)，函數(shù)是Riemann可積的。Jordan則進(jìn)一步建立了更為完善的容量理論，他定義，若集合的內(nèi)容量、外容量相等，則這個(gè)外容量稱為容量。Jordan將容量概念拓展到Rn空間中，指出容量的有限可加性：有限個(gè)不相交的點(diǎn)集的容量是他們各自容量之和。注意：這個(gè)結(jié)論看似顯然，但對(duì)於外容量是不成立的。Borel對(duì)容量工作作出了大量改進(jìn)。Borel不再用有限個(gè)區(qū)間去覆蓋點(diǎn)集，而是直接利用Cantor的結(jié)論，將開集的測度定義為開集的構(gòu)成區(qū)間的長度之和。他進(jìn)一步利用可數(shù)可加性和余集的性質(zhì)導(dǎo)出了Borel可測集合空間。這個(gè)測度空間是站在sigma代數(shù)的高度建立的，也成為測度論沿用至今最完備的理論體系。
Lesbegue積分最終由Borel的學(xué)生Henri Lesbegue建立。他首先將Borel測度理論進(jìn)行了推廣，綜合了Peano、Jordan的測度概念，用可數(shù)個(gè)區(qū)間覆蓋點(diǎn)集，以這些區(qū)間的長度和的最大下界作為點(diǎn)集的測度。在此基礎(chǔ)上，他證明了測度的可數(shù)可加性。Lesbegue可測集是對(duì)Borel集合的一個(gè)擴(kuò)成，同時(shí)他注意到零測集和不可測集的存在。在Lesbegue測度的基礎(chǔ)上，Lesbegue繼續(xù)定義了可測函數(shù)，假設(shè)A,B是函數(shù)分f(x)的最大下界和最小上界，現(xiàn)在對(duì)區(qū)間[A,B]作分劃；如果函數(shù)值落在任意一個(gè)子區(qū)間內(nèi)所對(duì)應(yīng)的x的取值集合都為可測集的話，就定義f(x)為可測函數(shù)。此時(shí)，就可以定義Lesbegue積分了：對(duì)[A,B]作無窮細(xì)分，并對(duì)細(xì)分區(qū)間中任意值和該區(qū)間對(duì)應(yīng)自變量點(diǎn)集的測度之乘積求和，得到的和式極限，就定義為Lesbegue積分值。
容易發(fā)現(xiàn)，Lesbegue積分和Riemann積分的定義是很相似的：前者對(duì)函數(shù)值作細(xì)分，求和式；後者是對(duì)自變量的取值範(fàn)圍作細(xì)分求和。這貌似相似的兩種做法，Lesbegue卻將積分的範(fàn)圍大大推廣了。例如Dilichlet函數(shù)，在Lesbegue積分意義下可積的，但是對(duì)於Riemann積分卻是不可積的。另一個(gè)例子是無界函數(shù)，Riemann意義下廣義積分要遵循嚴(yán)格的收斂條件，但是在Lesbegue意義下計(jì)算則簡單得多。
Lesbegue積分的貢獻(xiàn)不止這些。首先是關(guān)於函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的積分。Lesbegue證明，可測函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也為可測函數(shù)；在此基礎(chǔ)上建立的控制收斂定理，將級(jí)數(shù)積分的條件大大簡化了。Fourier級(jí)數(shù)方面，Lesbegue建立了Riemann-Lesbegue定理；在1906年的《三角函數(shù)講義》中，Lesbegue提出：Fourier級(jí)數(shù)的積分收斂性不依賴于Fourier級(jí)數(shù)本身的一致收斂性。
其次是不定積分方面的定理。Riemann意義下可積函數(shù)的被積函數(shù)可以是沒有導(dǎo)數(shù)的；反過來，Volterra在1881年證明：存在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)Riemann不可積。因?yàn)橐肓丝蓽y函數(shù)的概念，Lesbegue首先證明：Lesbegue可積函數(shù)的原函數(shù)是幾乎處處可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)幾乎處處和原來函數(shù)相等；反之，如果函數(shù)可微且導(dǎo)數(shù)有界，則導(dǎo)數(shù)是Lesbegue可積的。但是對(duì)於導(dǎo)數(shù)無界的情形卻相當(dāng)複雜。Lesbegue先把自己限制在導(dǎo)出數(shù)處處有限的情形，證明了此時(shí)的函數(shù)為有界變差函數(shù)；此外他提出了絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念，即函數(shù)在開集U上的全變差隨著U測度趨於0而趨於0.Lesbegue最終證明，對(duì)於絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，Newton-Leibniz公式成立。這個(gè)最終結(jié)果發(fā)表在1904年的著作中。
第三個(gè)貢獻(xiàn)是多重積分理論。他在1902年給出了這方面的一個(gè)結(jié)果，不過最有名的結(jié)果是Guido Fubini給出的。1910年，Lesbegue將單重積分的導(dǎo)數(shù)結(jié)果推廣到多重積分。
Lesbegue積分打開了分析學(xué)的一扇大門，開闢了函數(shù)論的一片新的沃土。Johann Randon結(jié)合Lesbegue和Stieltjes兩人的結(jié)果，提出了Lesbegue-Stieltjes積分；該推廣統(tǒng)一了n維Euclid空間點(diǎn)集上不同的積分概念，而且還擴(kuò)展到像函數(shù)空間那樣更普遍的空間，這種普遍的概念在概率論、譜理論、調(diào)和分析中得到了廣泛的應(yīng)用。
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