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數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是“三會”

從2005年開始，教育部讓我主導(dǎo)國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的制定，這些年以來，數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)一直在發(fā)展和變化中，從“雙基”到“四基”，再到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。今天，我想重點(diǎn)來談?wù)?strong>數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及未來的方向。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。

通俗一點(diǎn)而言，就是通過數(shù)學(xué)學(xué)科教育，我們最終要培養(yǎng)一個(gè)什么樣的人？我們提出了數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，無論我們的學(xué)生未來是否從事與數(shù)學(xué)相關(guān)的職業(yè)，我們都希望他們具備以下三點(diǎn)能力：

1.會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

2.會用數(shù)學(xué)的思維思考世界

3.會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界

這其中，數(shù)學(xué)眼光指的是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，代表數(shù)學(xué)的一般性；數(shù)學(xué)思維指的是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，代表數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性；數(shù)學(xué)語言指的是數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)分析，代表數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。

“三會”就是我們對學(xué)生在數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣培養(yǎng)上的終極目標(biāo)。我們教師無論處在哪一個(gè)學(xué)段，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的時(shí)候腦子里應(yīng)該始終想著這一終極目標(biāo)?！叭龝钡膬?nèi)涵包括數(shù)學(xué)基本思想：

數(shù)學(xué)眼光：數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)思維：邏輯推理

數(shù)學(xué)語言：數(shù)學(xué)模型

因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線是“三會”，內(nèi)涵是數(shù)學(xué)思想，基礎(chǔ)是知識，獲取方式是過程，是經(jīng)驗(yàn)的累積，是思維的習(xí)慣和做事的習(xí)慣。

我們目前所使用的數(shù)學(xué)教材存在一定的問題，沒有有意識地讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，沒有有意識地引發(fā)學(xué)生思考、幫助學(xué)生積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。

比如初中和高中都教函數(shù)，初中教函數(shù)是用變量的方式，高中教函數(shù)是用對應(yīng)的方式，但教材并沒有闡述這樣教背后的原因，沒有讓孩子理解背后的數(shù)學(xué)思想，這就是有問題的。我曾經(jīng)調(diào)查過一所中學(xué)的中學(xué)生，為什么要學(xué)函數(shù)？居然有孩子這么回答：函數(shù)是老師考察學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得好壞與否最重要的指標(biāo)。

如果數(shù)學(xué)教到這個(gè)份上就沒有意義了。

小學(xué)階段如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？

小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容是基本概念與運(yùn)算法則，小學(xué)數(shù)學(xué)思維是通過從具體到一般，感性到理性，感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過程；通過舉例說明、形式遷移、字母表達(dá)，感悟計(jì)算方法的形成過程。

高中階段的數(shù)學(xué)課標(biāo)已經(jīng)發(fā)布，而不久的將來，我們將出臺義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課標(biāo)，我認(rèn)為，高中課標(biāo)更一般，更側(cè)重能力，而義務(wù)教育課標(biāo)則要更具體，更側(cè)重意識。

比如數(shù)學(xué)抽象這個(gè)概念對于小學(xué)生而言不太好理解，我們換一個(gè)更具體地表達(dá)方式就是符號意識和數(shù)感。

符號意識主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號表述數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得出的結(jié)論具有一般性，建立符號意識有助于學(xué)生理解，符號的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。

數(shù)學(xué)抽象指的是舍棄數(shù)學(xué)的物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。比如數(shù)就是一種符號的表達(dá)，是對數(shù)量的抽象。

讓孩子經(jīng)歷感性一般的過程

如何認(rèn)識到數(shù)，對孩子而言是一件意義重大的事情。曾經(jīng)有一位數(shù)學(xué)老師問過我，為什么有的孩子分不清“3”和“4”，我說你是不是在講“3”的時(shí)候說的是3個(gè)蘋果，講“4”的時(shí)候說的是4個(gè)梨呢？這位老師說是的。

這位老師的講法就有問題，孩子學(xué)會抽象需要一個(gè)過程。從3個(gè)蘋果、3個(gè)梨不能直接一步就到“3”，而要先給孩子提供3個(gè)小方塊。這就是從感性具體到感性一般。感性一般的過程往往被我們所忽略。

從數(shù)量到數(shù)，形式上去掉后綴名詞，實(shí)質(zhì)上是舍去現(xiàn)實(shí)背景，思維上是從感性上升到理性。

另外，分?jǐn)?shù)的教學(xué)是很多教師都會遇到的問題。分?jǐn)?shù)是數(shù)，表達(dá)量的多少，但更本質(zhì)的是反應(yīng)關(guān)系。

我們中國的古代人是如何知道四季的？他們在平地上立了一根垂直于地面的8尺長的桿子，稱之為表，又叫做髀，周朝有本著作叫《周髀算經(jīng)》，說的就是這根桿子的學(xué)問。

有了這根桿子就可以測量太陽的影子。在一年中影子最長的那天是冬至，最短的那天就是夏至，那古人是如何確定春分和秋分的呢？他們將夏至的影長和冬至的影長加起來除以2，得到一個(gè)影長，這個(gè)影長所對應(yīng)的那一天就是春分或秋分。這樣，古人就將一年四季定了下來。這里面就很直觀感性地表達(dá)了一個(gè)分?jǐn)?shù)的概念。

中國古代音樂的產(chǎn)生也和分?jǐn)?shù)有關(guān)。古人將一段長度分成3份，減去一份得到2/3，加上一份得到4/3，根據(jù)這樣的比例關(guān)系給樂器打孔。中國古代五個(gè)音階“宮商角徵羽”就是這樣來的。這里的分?jǐn)?shù)就是線段長度的比例關(guān)系。

我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教材中沒有這樣的例子，但如果我們教師能在數(shù)學(xué)課上滲透一些這樣的例子是很有價(jià)值的，它同時(shí)也是在強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

在講1/3這個(gè)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，教師可以畫3個(gè)小方塊，把其中一個(gè)小方塊著重標(biāo)記，表示是3份中的一份。而如今，我們小學(xué)教師在講分?jǐn)?shù)的時(shí)候沒有經(jīng)歷這樣一個(gè)感性一般的過程，造成了學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的困難。

要重視從數(shù)到字母的思維過程

還有一件事情很重要，從數(shù)到字母是從理性具體到理性一般很重要的思維過程。但在教材中僅僅用了一節(jié)課就講完了。這么重要的思維過程如果僅僅用如此短的時(shí)間孩子是無法深刻領(lǐng)悟的，孩子會以為字母僅僅代表未知數(shù)。

字母能夠表達(dá)很多現(xiàn)象和一般規(guī)律，教師至少要讓孩子明白性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律分別用字母如何表達(dá)，舉例來說，2n是偶數(shù)，這是在表達(dá)性質(zhì)；小明爸爸比小明大30歲，如果用a表示小明的年齡，b表示小明爸爸的年齡的話，得到：b=a+30，這是在表達(dá)關(guān)系；s=60t 表示路程等于速度乘以時(shí)間，這是在表達(dá)規(guī)律。

如果這個(gè)沒有講清楚，我建議方程的教學(xué)可以先放一放，一定要將這個(gè)很重要的思維過程用極大的篇幅和教學(xué)情境讓孩子悟出來。

而方程如果沒有到特別必要的時(shí)候可以不用講。比如有的老師在講“5-x=2”這個(gè)方程，我問她你列這個(gè)方程的背景是什么，她說樹上原來有5只鳥，飛走幾只，還剩下2只，問樹上飛走了幾只鳥。我說這不就是一個(gè)減法嗎，為何要列方程呢？

什么時(shí)候才建議列方程？一定要是孩子進(jìn)行四則運(yùn)算遇到困難的時(shí)候，比如雞兔同籠。總之，數(shù)學(xué)的每一件事都是有意義的，要不使得我們的思維更加深刻，要不使得運(yùn)算更加方便。

從數(shù)學(xué)回歸生活

符號意識使得現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量與數(shù)的關(guān)系、圖形與圖形的關(guān)系進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部，但我們還要構(gòu)建一個(gè)詞，使得孩子從數(shù)學(xué)中還能回到現(xiàn)實(shí)世界，這個(gè)詞就是數(shù)感。從抽象了的數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)世界，對小學(xué)階段的學(xué)生是必要的。

數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟，建立數(shù)學(xué)有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解和表達(dá)具體情境中的數(shù)量關(guān)系。

比如數(shù)的大小回歸到現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量的多少可以用100元；從數(shù)的無背景回歸到現(xiàn)實(shí)世界中的背景可以用情境與量感，讓孩子知道100元去超市買東西可以，但買不了一棟房子。

總之，我們要將數(shù)學(xué)與教育學(xué)及孩子的心理認(rèn)知發(fā)展規(guī)律緊密結(jié)合起來，從而讓我們的孩子變得更加智慧。

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