自2005年教育部讓我主導(dǎo)制定國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)至今，數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)一直處于變化和發(fā)展當(dāng)中，從“雙基”到“四基”，再到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。今天，我講述的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其未來(lái)發(fā)展的方向。
數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度、價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，這些是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的。
簡(jiǎn)而言之，通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科教育，我們究竟要培養(yǎng)一個(gè)什么樣的人？我們提出了數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，無(wú)論我們的學(xué)生未來(lái)是否從事與數(shù)學(xué)相關(guān)的職業(yè)，我們都希望他們具備以下三點(diǎn)能力：
會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界
會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界
會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界
其中，數(shù)學(xué)眼光指的是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，代表數(shù)學(xué)的一般性；數(shù)學(xué)思維指的是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，代表數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性；數(shù)學(xué)語(yǔ)言指的是數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)分析，代表數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。
“三會(huì)”就是我們?cè)趯W(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣培養(yǎng)上的終極目標(biāo)。作為教師無(wú)論處在哪一個(gè)學(xué)段，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教育教學(xué)的時(shí)候心里應(yīng)該始終牢記這一終極目標(biāo)?！叭龝?huì)”的內(nèi)涵包括數(shù)學(xué)基本思想：
數(shù)學(xué)眼光：數(shù)學(xué)抽象
數(shù)學(xué)思維：邏輯推理
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：數(shù)學(xué)模型
因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線(xiàn)是“三會(huì)”，內(nèi)涵是數(shù)學(xué)思想，基礎(chǔ)是知識(shí)，獲取方式是過(guò)程，是經(jīng)驗(yàn)的累積，是思維的習(xí)慣和做事的習(xí)慣。
我們現(xiàn)目前使用的數(shù)學(xué)教材存在一定問(wèn)題，沒(méi)有有意識(shí)地讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，沒(méi)有有意識(shí)地引發(fā)學(xué)生思考、幫助學(xué)生積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。
例如初中和高中都會(huì)教函數(shù)，初中以變量的方式教函數(shù)，高中以對(duì)應(yīng)的方式教函數(shù)，但我們的教材卻沒(méi)有對(duì)為什么這樣教其背后的原因作進(jìn)一步闡釋?zhuān)瑳](méi)有引導(dǎo)孩子理解這背后所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，這就是問(wèn)題。
我在一次對(duì)某中學(xué)的調(diào)查中曾向?qū)W生們提問(wèn)，我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)函數(shù)？居然有孩子這么回答：函數(shù)是老師考察學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得好壞與否最重要的指標(biāo)。
如果數(shù)學(xué)教到這個(gè)份上就沒(méi)有意義了。
小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容是基本概念與運(yùn)算法則，小學(xué)數(shù)學(xué)思維是通過(guò)從具體到一般，從感性到理性，來(lái)引導(dǎo)孩子感悟數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程；通過(guò)舉例說(shuō)明、形式遷移、字母表達(dá)，來(lái)引導(dǎo)孩子感悟計(jì)算方法的形成過(guò)程。
目前已經(jīng)發(fā)布了高中階段的數(shù)學(xué)課標(biāo)，不久的將來(lái)，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課標(biāo)也將出臺(tái)，我認(rèn)為，高中課標(biāo)更側(cè)重能力，而義務(wù)教育課標(biāo)相比之下則要更具體，更側(cè)重意識(shí)。
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像數(shù)學(xué)抽象這個(gè)概念，對(duì)于小學(xué)生而言是不太好理解的，我們換一個(gè)更為具體的表達(dá)方式，數(shù)學(xué)抽象就是符號(hào)意識(shí)和數(shù)感。
符號(hào)意識(shí)主要是指理解并運(yùn)用符號(hào)來(lái)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律；知道使用符號(hào)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算和推理，從而得出具有一般性的結(jié)論。符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式，建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解。
數(shù)學(xué)抽象指的是舍棄數(shù)學(xué)的物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。比如數(shù)就是一種符號(hào)的表達(dá)，是對(duì)數(shù)量的抽象。
如何認(rèn)識(shí)“數(shù)”，對(duì)孩子來(lái)說(shuō)意義重大。
曾有一位數(shù)學(xué)老師問(wèn)我，為什么有的孩子分不清“3”和“4”。我回答他，你是不是在講“3”的時(shí)候說(shuō)的是3個(gè)蘋(píng)果，講“4”的時(shí)候說(shuō)的是4個(gè)梨呢？這位老師說(shuō)是的。
這位老師的講法其實(shí)是有問(wèn)題的，因?yàn)楹⒆右獙W(xué)會(huì)抽象需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程。3個(gè)蘋(píng)果、3個(gè)梨這種說(shuō)法，不能讓孩子直接就認(rèn)識(shí)到“3”這個(gè)數(shù)字，而要先給孩子提供3個(gè)小方塊以便于孩子直觀地進(jìn)行認(rèn)識(shí)。這就是從感性具體到感性一般。然而，感性一般的過(guò)程往往被我們所忽略。
從數(shù)量到數(shù)，形式上去掉后綴名詞，實(shí)質(zhì)上是舍去現(xiàn)實(shí)背景，思維上是從感性上升到理性。
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此外，分?jǐn)?shù)的教學(xué)是很多教師都比較頭疼的。分?jǐn)?shù)是數(shù)，表達(dá)的是量的多少，但其本質(zhì)更應(yīng)該是反應(yīng)關(guān)系。
古人是如何知曉四季的？周朝有本著作叫《周髀算經(jīng)》，書(shū)中提到他們?cè)谄降厣狭⒁桓怪庇诘孛娴?尺長(zhǎng)的桿子，古人稱(chēng)之為表，又叫做髀。有了這根桿子就可以測(cè)量太陽(yáng)的影子。一年中，冬至那天的影子最長(zhǎng)，而夏至那天的影子最短，由此古人確定了冬至和夏至。那么又該如何確定春分和秋分呢？他們將夏至的影長(zhǎng)和冬至的影長(zhǎng)加起來(lái)除以2，最終得到的這段影長(zhǎng)，其對(duì)應(yīng)的那一天就是春分或秋分。如此，古人就將一年四季定了下來(lái)。
這就很直觀感性地表達(dá)出了分?jǐn)?shù)的概念。
中國(guó)古代音樂(lè)的誕生也和分?jǐn)?shù)有關(guān)。古人將一段長(zhǎng)度分成3份，減去一份得到2/3，加上一份得到4/3，最后根據(jù)這樣的比例關(guān)系來(lái)給樂(lè)器打孔。中國(guó)古代五個(gè)音階“宮商角徵羽”就是這樣來(lái)的。這里的分?jǐn)?shù)就是線(xiàn)段長(zhǎng)度的比例關(guān)系。
然而我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教材中卻沒(méi)有這樣的例子，但如果教師能在數(shù)學(xué)課堂中滲透一些這樣的例子是很有價(jià)值的，同時(shí)它也是在引導(dǎo)孩子用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察世界。
比如在講1/3這個(gè)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，教師可以畫(huà)3個(gè)小方塊，把其中一個(gè)小方塊著重標(biāo)記，表示這是三份中的一份。但經(jīng)我觀察，我們小學(xué)教師在講分?jǐn)?shù)的時(shí)候普遍沒(méi)有經(jīng)歷這樣一個(gè)感性一般的過(guò)程，對(duì)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)造成了一定困難。
除了上面提到的兩點(diǎn)以外，從數(shù)到字母也需要我們重視，這是從理性具體到理性一般的很重要的思維過(guò)程，但實(shí)際上在教材中僅僅用一節(jié)課就講完了。我認(rèn)為，這么重要的思維過(guò)程孩子僅僅用如此短的時(shí)間是無(wú)法深刻領(lǐng)悟的，他們會(huì)以為字母僅僅代表未知數(shù)。
字母能表達(dá)很多現(xiàn)象和一般規(guī)律，教師至少要讓孩子明白如何用字母分別表達(dá)性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，例如，2n是偶數(shù)，這是對(duì)性質(zhì)的表達(dá)；小明爸爸比小明大30歲，如果用a表示小明的年齡，用b表示小明爸爸的年齡，則可得：b=a+30，這是對(duì)關(guān)系的表達(dá)；s=vt表示路程等于速度乘以時(shí)間，這是對(duì)規(guī)律的表達(dá)。
如果沒(méi)有把這個(gè)講清楚，我建議方程的教學(xué)可以先放一放，一定要用極大的篇幅和教學(xué)情境讓孩子領(lǐng)悟這個(gè)重要的思維過(guò)程。而且如果不是特別必要的話(huà)，我認(rèn)為甚至可以先不用講方程。
有的老師講“5-x=2”這個(gè)方程，我問(wèn)她你列這個(gè)方程的背景是什么，她說(shuō)樹(shù)上原本有5只鳥(niǎo)，飛走了x只，還剩下2只，問(wèn)樹(shù)上飛走了幾只鳥(niǎo)。這不就是一個(gè)減法就能解決的問(wèn)題嗎，為何要列方程呢？
那么什么時(shí)候我才建議用列方程來(lái)解決問(wèn)題呢？我覺(jué)得一定要是孩子在運(yùn)用四則運(yùn)算解題卻遇到困難的時(shí)候，比如雞兔同籠?？傊?strong>數(shù)學(xué)的每一件事都是有意義的，要么能讓我們的思維更加深刻，要么能讓運(yùn)算更加方便。
符號(hào)意識(shí)使得現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量與數(shù)的關(guān)系、圖形與圖形的關(guān)系進(jìn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部，但我們還需構(gòu)建一樣?xùn)|西，使孩子從數(shù)學(xué)中還能回到現(xiàn)實(shí)世界，這個(gè)東西就是數(shù)感。從抽象了的數(shù)學(xué)回歸現(xiàn)實(shí)世界，對(duì)尚處于小學(xué)階段的孩子是必要的。
數(shù)感主要是指對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等多方面的感悟，學(xué)生建立數(shù)感有利于幫助他們?cè)诶斫鈹?shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義，以及理解和表達(dá)具體情境中的數(shù)量關(guān)系。
比如數(shù)的大小回歸到現(xiàn)實(shí)世界可以用100元來(lái)表示，同時(shí)用情境與量感讓抽象的數(shù)回歸到真實(shí)的世界背景當(dāng)中，從而能讓孩子理解100元可以在超市里買(mǎi)東西，但買(mǎi)不了一棟房子。
總之，我們要將數(shù)學(xué)學(xué)科、教育學(xué)及孩子的心理認(rèn)知發(fā)展規(guī)律緊密結(jié)合起來(lái)，從而讓我們的孩子變得更加智慧。
作者：史寧中，國(guó)務(wù)院學(xué)科評(píng)議組成員，第五屆國(guó)家級(jí)教學(xué)名師，數(shù)學(xué)新課標(biāo)修訂組組長(zhǎng)。
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