在科學(xué)界有一些問題，當你由已知條件不可能證明其結(jié)論正確或是不正確，就被稱為“悖論”問題。早在公元前的四百多年，古希臘埃利亞學(xué)派巴門尼德的門徒芝諾，就曾經(jīng)提出過“飛著的箭是靜止的”等四個悖論來反對赫拉克利特的流動說，以維護自己學(xué)派的靜止說，這就是科學(xué)史上著名的“芝諾悖論”，這個悖論在當時科學(xué)界引起了兩派激烈的爭論。那么“悖論”究竟給數(shù)學(xué)界帶來什么樣的影響呢？
數(shù)學(xué)大廈的根基
早在古希臘時代，由于人們對空間和時間及“無限”的認識缺乏嚴密的邏輯基礎(chǔ)，引發(fā)了芝諾悖論。1871年德國數(shù)學(xué)家康托創(chuàng)立了“集合論”，人們以為“集合論”的建立，數(shù)學(xué)已經(jīng)達到了“絕對的嚴格”了。可康托卻早已憂心忡忡，擔(dān)心集合論可能遇到矛盾。1899年他曾兩次寫信給戴德金，提出“集合的集合是否構(gòu)成一個集合？若這是一個集合，就會出現(xiàn)比一切基數(shù)都大的基數(shù)而陷入自相矛盾?！笨蛇@一問題在當時并未引起大家的注意。
當時，德國大數(shù)學(xué)家希爾伯特認為，數(shù)學(xué)的每一個分支，都可以從一些簡單的事實出發(fā)，用嚴格的邏輯推理的辦法，推演出結(jié)論來。他的這個思想來源于他對幾何的研究。因為他對幾何知識進行了系統(tǒng)的歸納整理，成功的把幾何建立在一些簡單的事實基礎(chǔ)之上，他把這些事實稱之為公理。后來，他又對其它的數(shù)學(xué)分支算術(shù)、代數(shù)也使用了這種方法，也獲得了一些成功，于是希爾伯特學(xué)派的數(shù)學(xué)家們以為數(shù)學(xué)的任務(wù)就是邏輯推理。
塞爾維亞理發(fā)師的難堪
1900年在法國巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家會議上，大數(shù)學(xué)家龐加萊宣布：“數(shù)學(xué)的嚴格性，看來直到今天才可以說是實現(xiàn)了?！碑敃r的數(shù)學(xué)界真是興高采烈，喜氣洋洋。就在人們慶賀數(shù)學(xué)王國達到“絕對嚴格”時，1902年英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素提出了一個令人難以解釋的“羅素悖論”：設(shè)z為一切不含自身為元素所組成的新集合，那么z是包含在自身為元素的集合中呢？還是不包含于自身為元素的集合中呢？無論包含與否都會導(dǎo)致矛盾。
為使這一表述通俗化，羅素進而將它改編為“理發(fā)師悖論”。
在塞爾維亞有一位理發(fā)師，他宣稱：他只給所有不給自己刮胡子的人刮胡子，不給那些給自己刮胡子的人刮胡子?？墒钱斔约阂魏訒r，卻陷入了尷尬境地。若他不給自己刮，根據(jù)他前面的條件，應(yīng)該給自己刮；若他給自己刮胡子，又由于他后面的聲明，他不該給自己刮胡子?？傊?，無論刮與不刮，都違背了自己的諾言，這位可憐的理發(fā)師陷入為難之中。
羅素所提出的集合論悖論，向世人宣布了一條驚人的信息，數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)——集合論是自相矛盾的，沒有相容性。這一問題的出現(xiàn)使得剛剛平靜的數(shù)學(xué)界，又掀起了軒然大波，也使眾多數(shù)學(xué)家們大驚失色，不知如何是好。千百年來辛辛苦苦建立起來的數(shù)學(xué)大廈的根基出了問題，這個數(shù)學(xué)大廈豈不危急！
哥德爾的功績
為了解決集合論中的這個悖論，眾多著名數(shù)學(xué)家們在驚惶之余又紛紛投入了工作，為修補數(shù)學(xué)大廈忙碌起來。有的從公理體系方面入手論證；有的從類型方面入手來討論；都想對集合論進行一些改造，以彌補大廈根基的這條縫隙，但成效甚微。
直到1931年奧地利的青年數(shù)學(xué)家哥德爾間接地回答了這一問題。
哥德爾是20世紀的一位偉大的數(shù)理邏輯學(xué)家，他于1906年出生于奧地利，1930年在維也納大學(xué)獲博士學(xué)位。1931年哥德爾對希爾伯特的形式化目標表示了懷疑，他想說明這個目標是不可能達到的。他認為，數(shù)學(xué)的任務(wù)不能只是邏輯推理，還必須對外界進行觀察，不斷用新的發(fā)現(xiàn)來豐富數(shù)學(xué)，而這些新的發(fā)現(xiàn)，是不能使用原來的數(shù)學(xué)知識去證明的。這樣他就想到了要去證明他的上述想法。
證明卻是極其困難的。因為它要洞察全部數(shù)學(xué)推論能力的界限，就在哥德爾一籌莫展的時候，有一個有名的問題給了他很大的啟發(fā)。這個問題是：下面這句話對不對？
“這句話是假話”。
如果你說這句話對，那你就得承認這句話是假話，因為這是這句話本來的意思；如果你說這句話不對，那你就得認為它不是假話，這一來，那你就得認為它不是假話，可這樣，那你就承認這句話是對的了。不管怎么回答，都會導(dǎo)致矛盾。
哥德爾模仿這個問題也寫出了一句話：“這句話是不能證明的?！彼?，如果你能從某些前提出發(fā)證明這句話是對的，那你就得承認這句話是不能證明的，那你就陷入矛盾；如果你能證明這句話不對，那你就承認這句話是可以證明的，你又怎能證明它是錯誤的呢？
可見，從任何前提出發(fā)，你既不可能證明這句話對，也不可能證明它不對。
這樣，哥德爾就得出一個結(jié)論：任何一門數(shù)學(xué)中都有這樣的東西，從這門數(shù)學(xué)中的已知事實出發(fā)，你不可能證明它對，也不可能證明它不對。這也就是說，包含通常邏輯和數(shù)論的一個系統(tǒng)的無矛盾性是不可能證明的。這看起來似乎簡單，但卻具有重大意義的發(fā)現(xiàn)，被數(shù)學(xué)界稱為“不完備性定理”，也叫“哥德爾定理”。
劃時代的貢獻
哥德爾的發(fā)現(xiàn)轟動了世界，他的這一“不完備性定理”是數(shù)理邏輯發(fā)展史上的一個重大研究成果，是數(shù)學(xué)與邏輯發(fā)展史的又一個里程碑。因為羅素集合論悖論的提出，從理論上動搖了千百年來數(shù)不清的數(shù)學(xué)家們辛勤建立起來的數(shù)學(xué)大廈根基，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論——集合論有了問題，并導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。因此，必須對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)進行嚴密的考察，而哥德爾的理論恰恰完成和解決了這個問題，把眾多的數(shù)學(xué)家們從迷惑和惶恐中解救出來，并推動了數(shù)學(xué)的向前發(fā)展。所以，科學(xué)家們一致稱哥德爾的不完備性定理是劃時代的里程碑。
哥德爾定理不但宣告了把數(shù)學(xué)徹底形式化的愿望是不可能實現(xiàn)的，而且給數(shù)學(xué)中證明不可能問題開創(chuàng)了一條新路。例如，希爾伯特在1900年國際數(shù)學(xué)家大會上提出的23個問題中，第10個問題是：能不能找到一個辦法，用來判斷任何一個不定方程有沒有整數(shù)解？應(yīng)用哥德爾定理，數(shù)學(xué)家們成功地解決了這一難題，其答案是“不可能”。而這一問題答案的取得花了70年的時間。
哥德爾定理的發(fā)現(xiàn)，使他受到普遍的崇敬。第二次世界大戰(zhàn)前夕，他去美國普林斯頓高級研究所工作，1951年獲得愛因斯坦勛章。大數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼在授勛儀式上說：“哥德爾在現(xiàn)代邏輯中的成就是非凡的，不朽的——它的不朽甚至超過了紀念碑?！?br>
