作者：未來幾何學(xué)
初中、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要養(yǎng)成善于思考、歸納整理、舉一反三的良好習(xí)慣。希望我們能從此筆記中領(lǐng)悟出重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和技巧，取人之長(zhǎng)，補(bǔ)己之短，站在前人的肩膀上，我們才能取得更好的成績(jī)！
很多同學(xué)學(xué)習(xí)了課本覺得勾股定理這一章內(nèi)容很簡(jiǎn)單，但深挖其中思想原理后，發(fā)現(xiàn)并不簡(jiǎn)單。
百度圖片 勾股定理
一、勾股定理知識(shí)點(diǎn)歸納
1、勾股定理
直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2 b2=c2
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，a2 b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
3、勾股數(shù)：滿足a2 b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。
常用的勾股數(shù)及其通用公式：
1）3n,4n,5n(n是正整數(shù))
例如：（3、4、5），（6、8、10）......
2) 2n 1,（n是正整數(shù))
例如：（5,12,13），（7,24,25）......
注意：常用簡(jiǎn)單的勾股數(shù)需牢記，出卷老師常以此做文章出考題。
海底暗礁音效
00:06來自未來幾何學(xué)
二、勾股定理中常用的數(shù)學(xué)思想方法歸納
2.1、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合思想：就是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”，和“以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化.
例1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則CE的長(zhǎng)為（）
例1圖 直角三角形
方法一：利用相似三角形
解：過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF ∠CFA=90°，∠FAD ∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
2.2、化歸與轉(zhuǎn)化的思想
化歸與轉(zhuǎn)化思想是指將復(fù)雜問題化歸為簡(jiǎn)單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題。
例1、（同例1）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則CE的長(zhǎng)為（ ?。?/span>
例2圖 求線段長(zhǎng)
重要領(lǐng)悟：本題利用轉(zhuǎn)化和和化歸的思想包含在兩個(gè)地方：1、將求某條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求相等線段的長(zhǎng)，如本題中的CE=FC=FG；2、將求線段長(zhǎng)的問題，轉(zhuǎn)化為三角形面積問題，從而輕易的求得FG的長(zhǎng)。
2.3、分類討論的思想
分類討論的思想是指把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，或者有些問題包括多種情況時(shí)，要分情況討論。運(yùn)用分類討論思想時(shí)要注意：每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)；分類時(shí)要做到不重不漏。
例3、在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，則△ABC的周長(zhǎng)為____．
【解】∵AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，
∴AD=AC－CD，
∴AD=9，
BD=BC－CD，
∴BD=5.
如圖①，當(dāng)CD在△ABC內(nèi)部時(shí)，AB=AD＋BD=9＋5=14，
此時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為14＋13＋15=42；
如圖②，當(dāng)CD在△ABC外部時(shí)，AB=AD－BD=9－5=4，
此時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為4＋13＋15=32.
∴△ABC的周長(zhǎng)為32或42.
2.4、函數(shù)思想（或函數(shù)與方程的思想）
函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略。
例4、如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把△AED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)落點(diǎn)為F，若△ABF的面積為30 cm，求△ADE的面積．
重要領(lǐng)悟：利用勾股定理，建立方程是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，設(shè)未知數(shù)把未知的量與已知的量集中到同一個(gè)直角三角形中，再通過勾股定理建立方程，然后再解方程得解。
聯(lián)系客服
