【解題研究】（2021貴州黔東南州25）對角互補模型?角平分線?三條線段數(shù)量關系?面積
2021吉林25
（1）如圖①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°．求證：AD+AB＝AC；（2）如圖②，若∠BAD＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關系，并說明理由；圖①
圖②
試題簡析
本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、四邊形面積的計算等知識，利用角平分線的性質(zhì)作出輔助線構(gòu)造全等是解題的關鍵．第一問屬于特殊情況，第二問延伸到一般情況，本題的不變特征是：①對角互補，②AC平分∠BAD，解題時從這兩方面入手分析轉(zhuǎn)化，從而獲得解題思路．（1）由題意可得∠ACD＝∠ACB＝30°，從而有AD ， ．則AD+AB＝AC；解：（1）證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，（2）①過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．證△CFB≌△CED，得FB＝DE，則AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，由（1）知：AE+AF＝AC，代入即可；理由：過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠EDC+∠ADC＝180°，∴AD+AB＝AD+FB+AF＝AD+DE+AF＝AE+AF，在四邊形AFCE中，由（1）題知：AE+AF＝AC，（2）②求一般四邊形面積常轉(zhuǎn)化為三角形的面積求解，本問將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為S△ACD+S△ABC，結(jié)合①的結(jié)論可解決問題．解：在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，解后總結(jié)
本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、四邊形面積的計算等知識，利用角平分線的性質(zhì)作出輔助線構(gòu)造全等是解題的關鍵．（1）對角互補模型條件：①對角互補（必備條件）；②有一組鄰邊相等；③對角線平分一個內(nèi)角，解題時常通過構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等或構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型相似處理，當具備條件①，常構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型相似處理；當具備條件①②或①③時，常構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等處理．①做垂直構(gòu)造全等；②延長構(gòu)造全等；角平分線除了平分角，通常是主要利用對稱的觀點來看待和構(gòu)造全等解決問題，有時作垂線構(gòu)造全等，還有“雙平出等腰”，具體思路有：思路1：利用角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點向角兩邊作垂線構(gòu)造全等三角形；思路2：利用“角平分線+平行”（雙平出等腰）模型構(gòu)造等腰三角形；（推廣：知二推一）思路3：利用“角平分線+垂直”模型（三線合一）構(gòu)造等腰三角形；思路4：遇到角平分線，構(gòu)造對稱圖形，在角的一邊上截取相等的線段構(gòu)造全等三角形（典例：對角互補模型）；思路5：（角平分線分線段成比例）三角形內(nèi)角平分線分對邊所成的兩條線段與夾這個角的兩邊對應成比例；若AD是△ABC的角平分線，則；思路6：（角平分線性質(zhì)之庫斯頓定理）如果AD是△ABC的角平分線，則AD2＝AB ·AC—BD ·DC （記憶方法：中方＝上積—下積）；思路7：（雙垂直三角形與角平分線組合）如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，AF平分∠CAB，則CE＝CF．
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