學習到等邊三角形時，經常會碰到下面這個基本的圖形。
【基本圖形】
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．求證：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．
第①問為基本的全等證明，第②問在第①問基礎上先導角得到∠BPQ=60°，再運用30°角直角三角形性質，比較容易得到BP=2PQ。
【變形1】基于【基本圖形】的認知，除了△ADC≌△BEA全等外，還可以證明△ABD≌△BCE，對圖形的條件進行充分挖掘，設定BP⊥CP，將全等的證明環(huán)節(jié)隱藏，得到【變形1】
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，CF⊥BE．求證：BF＝2AF．
從∠BFD=60°結論入手，很自然可以想到過B作AD的垂線，通過證明△ABK≌△BCF，可得BF=AK=2FK，從而得到F為AK的中點，所以BF＝2AF．
【變形2】幾何題中將部分條件和結論互換后，是否仍成立，基于這個想法，得到【變形2】
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，BF＝2AF，求證：CF⊥BE．
依然從2倍進行突破，繼續(xù)過B作AD的垂線，得到F為AK的中點，所以BF=AK，再證明△ABK≌△BCF，得到CF⊥BE．
【變形3】通過上述圖形中BF=2AF繼續(xù)深度考慮，繼續(xù)發(fā)現(xiàn)隱藏的結論
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，BF＝2AF，求證：BD＝2CD．
此問方法較多，可以從2倍出發(fā)，觀察△ABF好△ACF，可以取BF的中點，通過全等可以得到△ABF的面積為△ACF面積2 倍，從而轉化到高的比為1:2，得到△BFD的面積為△CFD面積的2倍，從而推出BD＝2CD．（更多方法歡迎大家進群交流研討）
【變形4】在【變形3】的證明過程中，為了降低題的難度，可以逐步設問，引導學生去說明兩三角形面積之間的關系，得到【變形4】
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，BF＝2AF，求證：
方法不贅述，與【變形3】基本一致
【變形5】還是基于條件和結論互換后，是否仍然成立。先給出BD=2CD，要求去證明BF=AF
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，BD＝2CD，求證：①BF＝2AF；②BF⊥CF．
可以通過BD=2CD得到△ABF的面積為△ACF面積2 倍，截取BM=AF，通過全等說明△ABF的面積為△ABF的面積的2倍，所以BF=2BM=2AF。（還有另一種比較常見的方法為以B為頂點構造一個等邊三角形，運用角平分線定理進行處理）
【變形6】【基本圖形】的圖形為等邊三角形為背景，由特殊到一般進行探究，發(fā)現(xiàn)只需要滿足∠BFE與等腰三角形的頂角相等，且∠BFE為∠CFE的兩倍關系，結論依然成立。
如圖，△ABC中，AB＝AC，M、E分別為AC、BC上一點，AE交BM于點F，連接CF，∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求證：
方法不贅述，可以與上面的方法保持一致，大家可以自行思考。
【變形7】在【基本圖形】的基礎上增加中點的條件，得到新的結論
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，點M為AB的中點，求證：∠BFM＝∠CFD，∠AFM＝∠CFE．
由中點進行倍長處理轉移邊角關系，再構造全等，通過構造等邊三角形BFN從而可得△BFG≌△NFC，所以∠BFM＝∠CFD，再由∠AFB=∠DFE=120°，所以∠AFM＝∠CFE
【變形8】前面取AB的中點，將中點的位置進行變化，取AC的中點，給予一個特殊角產生新的結論
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，點G為AC的中點，∠BFG＝120°，求證：AF＝2FG．
構造等邊△AFN，連接CN，延長EG交CN于M，易得△FNM為等邊三角形，△AFG≌△CMG，所以AF＝2FG．
【變形9】將上題中的角度進一步分解，設置兩個角的角度，隱藏中點的特殊條件，從而產生新的結論
如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且AE＝CD，AD與BE相交于F，點G為AC上一點，∠BFC＝90°，∠CFG＝30°，求證：AG⊥BG．
最后一個題供大家思考，方法和上面的非常類似
