知識(shí)解讀
勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
勾股定理只有在直角三角形中才適用，如果不是直角三角形，那么三條邊之間就沒(méi)有這種關(guān)系。應(yīng)用勾股定理的時(shí)候，一定要弄清哪條邊是直角邊，哪條邊是斜邊.
典例示范
一、已知直角三角形的兩邊關(guān)系，?？紤]運(yùn)用方程思想
例1直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)的比是3:4，斜邊長(zhǎng)是25，則它的兩直角邊長(zhǎng)分別是_______
【提示】可設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3k和4k，然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于k的方程。
【技巧點(diǎn)評(píng)】
根據(jù)兩邊關(guān)系設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理，列方程求未知數(shù)的值，是解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法。
二、沒(méi)有提供圖形的幾何題，要留意可能出現(xiàn)多解
例2在△ABC中,AB=13，AC=15，BC邊上的高AD=12，求BC的長(zhǎng).
【提示】本題已知條件的三條線段AB，AC和AD，都是從點(diǎn)A出發(fā)的，需要分兩種情況討論。
【解答】
【技巧點(diǎn)評(píng)】
幾何題目如果沒(méi)有明確圖形形狀的時(shí)候，一般這個(gè)圖形形狀會(huì)出現(xiàn)幾種情況，解題時(shí)需要仔細(xì)分析題意，找出所有可能的情況。
三、等腰三角形底邊上的高
例3 如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD是BC邊上的中線，求AD的長(zhǎng).
【提示】由于AD是BC邊上的中線，可知AD⊥BC，于是由AB=AC=10，BC=8，利用勾股定理即求.
【解答】
【技巧點(diǎn)評(píng)】
等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線是同一條線段，根據(jù)這一性質(zhì)，可運(yùn)用勾股定理求得等腰三角形底邊上的高。
四、已知直角三角形兩邊長(zhǎng)，求斜邊上的高
例4如圖3-10-2，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求CD的長(zhǎng).
【提示】先運(yùn)用勾股定理求出AC，再根據(jù)△ABC的面積表示，即可求出CD的長(zhǎng)。
【解答】
【技巧點(diǎn)評(píng)】
求直角三角形斜邊上的高常運(yùn)用勾股定理和面積關(guān)系式聯(lián)合求解，所用的數(shù)學(xué)思想方法也稱面積法。其步驟一般為：先用兩種方法分別計(jì)算同一圖形的面積，然后利用兩個(gè)面積相等列出一個(gè)方程，從而求出求未知數(shù)的值.
五、以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形
例5如圖3-10-4，四邊形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c；A，B，N，E，F(xiàn)五點(diǎn)在同一直線上，試用含有a，b的代數(shù)式表示c的值.
【提示】這三個(gè)正方形的面積分別是a2，b2，c2，可聯(lián)想勾股定理結(jié)論。
【解答】
【技巧點(diǎn)評(píng)】
如圖3-10-5，三幅圖中，直角三角形三邊依次是半圓、正方形和等邊三角形，它們具有相同的結(jié)論，其實(shí)直角三角形三邊的圖形還可以換成正五邊形、正六邊形等，結(jié)論同樣成立.
六、利用勾股解決銳角三角形和鈍角三角形問(wèn)題
例6如圖3-10-7，在△ABC中，∠C=60°，AB=14，AC=10.求BC的長(zhǎng).
【提示】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，圖中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形—Rt△ACD和Rt△ABD，這兩個(gè)直角三角形有條公共邊AD，借助這條公共邊，可建立起來(lái)直角三角形之間的聯(lián)系。
【解答】
【技巧點(diǎn)評(píng)】
（1）題中并沒(méi)有交代△ABC是直角三角形，因此不能直接應(yīng)用勾股定理，求BC的長(zhǎng)，像這種情況，常用的處理手段是，作三角形一邊上的高，將原三角形分成兩個(gè)直角三角形的和或差的形式；（2）欲求兩個(gè)直角三角形的公共邊的長(zhǎng)，而在每個(gè)三角形中都無(wú)法直接求出時(shí)，往往利用這條公共邊列出方程，先求出其他相關(guān)線段的長(zhǎng)，這種方法在解此類(lèi)問(wèn)題中經(jīng)常運(yùn)用。
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