平行四邊形中的幾何模型
一、基礎(chǔ)知識(shí)
條件的組合搭配是解決幾何綜合題目的基本思路，在進(jìn)行組合搭配中往往遇到一些常用的結(jié)構(gòu)．可以通過補(bǔ)全圖形，從而構(gòu)造熟悉的結(jié)構(gòu)：
三角形的三線：底邊上的中線、底邊上的高線、頂角的角平分線.
二、方法技能
1．幾何計(jì)算、證明的基本思考流程
①標(biāo)注條件，合理轉(zhuǎn)化；
②組合特征，分析結(jié)構(gòu)；
③由因?qū)Ч?，?zhí)果索因．
2．特殊四邊形中隱含條件
①平行四邊形中隱含條件：平行、中點(diǎn)；
②菱形中隱含條件：平行、中點(diǎn)、角平分線、垂直；
③矩形中隱含條件：平行、中點(diǎn)、垂直；
④正方形中隱含條件：平行、中點(diǎn)、角平分線、垂直．
3．四邊形中常見幾何結(jié)構(gòu)舉例
①中點(diǎn)結(jié)構(gòu)：直角+中點(diǎn)，平行+中點(diǎn)，多個(gè)中點(diǎn)；
②旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)：等線段共點(diǎn)，對(duì)角互補(bǔ)；
③弦圖結(jié)構(gòu)：外弦圖，內(nèi)弦圖，等腰直角，三垂；
④面積結(jié)構(gòu)：三個(gè)“一半”，平行轉(zhuǎn)化．
三、典例精講
1．如圖，在平行四邊形ABCD 中，BC= 2AB ，CE⊥AB 于點(diǎn)E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF = 54°，則∠B = ．
【分析】（體會(huì)條件組合與搭配）
方法一：
①AB∥CD ，F(xiàn)為AD 的中點(diǎn)；→平行夾中點(diǎn)→延長(zhǎng)證全等；
② ∠GCE = ∠CEB= 90° ，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)；→直角+中點(diǎn)→直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
∴易證△AFE≌△DFG (SAS) ，
∴EF=FG
∵∠GCE=∠CEB = 90°，
∴EF=GF=CF
∵BC=2AB ，
∴FD=CD
∵∠AEF=54° ，
∴∠FEC=∠FCE = 36° ，∠CFD=∠FCD=∠G=54°
∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°
方法二：
F為AD的中點(diǎn)，取CE中點(diǎn)造梯形AECD 的中位線（構(gòu)成△CEF 兩線合一）∵∠AEF=54° ，
∴∠FEC=∠FCE=36°，∠CFD=∠FCD=54°
∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°
方法三：
∵CE⊥ AB 于點(diǎn)E ，
∴取BC中點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
又∵BC=2AB ，
∴BG=EG=CG=CD=FD=AF ，
∴AB∥FG∥CD ，
∴∠GEF=∠GFE=∠AEF=54°，∠B=∠GEB=72°
2．如圖，在菱形ABCD中，∠A =110° ，E 、F分別是邊AB 、BC的中點(diǎn)，若EP⊥CD于點(diǎn)P ，則∠FPC= ．
【分析】
四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)分別是邊BC的中點(diǎn)，構(gòu)成平行夾中點(diǎn)→延長(zhǎng)證△BEF≌△CGF(SAS)
∴EF=FG=FP ，AE=BE=BF=FG（菱形的四邊相等）
∴∠B=70°,∠BFE=∠BEF=∠G=∠FPC=55°
3．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且AE=DF連接BF,與DE相交于點(diǎn)G，連接CG,與BD相交于點(diǎn)H ．則下列結(jié)論：
①△AED≌△DFB；②∠BGD=120°
其中正確的是 ．（填序號(hào)）
【分析】
①△AED≌△DFB（SAS），
∴①正確
②由△AED≌△DFB 得∠1 = ∠2 ，
∴∠BGE=∠1+∠3=∠2+ ∠3 = 60°，∠BGD =120° ∴②正確
③∵∠BGD+∠BCD=120°+ 60° =180° （對(duì)角互補(bǔ)）,CD = CB（等線段共點(diǎn)C）
∴可以考慮將△CDG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△CBM ，也可將△CBG繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°
注意：輔助線的敘述與三點(diǎn)共線
敘述一：將△CDG旋轉(zhuǎn)到△CBM ，必須根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)說明G、B、M三點(diǎn)在一條直線上；
敘述二：延長(zhǎng)GB至M ，使BM=DG（保證了G、B 、M 三點(diǎn)在一條直線上)，連接CM，此法只需要證明△CBM≌△CDG(SAS) ，從而證得△CGM是等邊三角形.
∴
∴③正確
4.（2019）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線AD (與A重合)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為 .
【分析】
∵點(diǎn)P是射線AD上的一點(diǎn)，且不與A重合，
∴∠BCP=90°
∵∠ACB=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴
四、典型練習(xí)
【思路分析】
本題給出F為AD的中點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形提供的對(duì)邊平行，故考慮“平行夾中點(diǎn)”，借助全等轉(zhuǎn)移邊、轉(zhuǎn)移角．
綜上，其中一定正確的是①②④．
【思路分析】
本題給出AB=OB ，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)（等腰+中點(diǎn)構(gòu)三線合一）
∴連接BE得BE⊥ AC
3．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC ，點(diǎn)E在BC邊上，AE=BE ，F(xiàn)是CD邊的中點(diǎn)，且AF⊥AB ．若AD=2.7 ，AF=4，AB=6，則CE的長(zhǎng)為 ．
【思路分析】
本題給出AD∥BC，F(xiàn)是CD邊的中點(diǎn)，這是很典型的“平行夾中點(diǎn)”
∴延長(zhǎng)AF，BC交于點(diǎn)G ，易證△ADF≌△GCF，
∴AF=FG=4 ，
∵AF⊥AB ，
∴由勾股定理可得BG=10．
∵AE=BE ，∴∠B=∠2 ，
∴∠B+∠G=∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠G ，AE=EG=BE=5，
∴CE=5-2.7=2.3
【思路分析】
本題給出正方形內(nèi)含有正方形結(jié)構(gòu)，
∴構(gòu)造弦圖易證：△ABC≌△GFB，
△AOB≌△GOF得OA=OG，∠AOG=90°，AG=12 ，
∴AC=GB=12+4=16
【思路分析】
本題給出ABCD是正方形，∠CED=90° ，
∴∠COD+∠CED=180°，∠ODE+∠OCE=180° 構(gòu)成對(duì)角互補(bǔ)，
∵OC=OD ，構(gòu)成等線段共點(diǎn)，
∴可考慮將△ODE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°
∴將OE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到OF，連接CF，易證△ABC≌△GFB ，
∴∠ODE=∠OCF，DE=CF，OE=OF
6．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，正方形OPQR的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的中心重合．給 出以下結(jié)論：
①四邊形OECF 的面積為1；
②CE+CF=2；
③OE+OF=2；
④四邊形OECF 的周長(zhǎng)為4 ．
其中正確的是 ．（填序號(hào)）
【思路分析】
本題給出正方形OPQR的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的中心重合．
方法一：
∴∠EOF+∠ECF=90°+90°=180°（對(duì)角互補(bǔ)），連接OC、OD，△OEC與△OFD構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型全等.
方法二：
∵∠EOF這個(gè)直角的兩邊不是水平線和鉛垂線（稱為斜直角），解決“斜直角”問題常用的方法就是“斜直角放正”（直角的兩邊由水平線和鉛垂線構(gòu)成），這種方法在直角坐標(biāo)系中用得很多！
∴作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H ，
易證△OGE≌△OHF，同樣可得上述結(jié)論．
【思路分析】
∠AMF是斜直角，可考慮“斜直角放正”，得△AMG≌△BMF ，
∴AG=FB，GM=FM
∴四邊形OGMF是正方形，
OG=OF=3，AG=FB=1；
△OAB≌△EBC（三垂全等），
∴BE=OA=2，CE=OB=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,4）構(gòu)造弦圖可得：△OAB≌△EBC（三垂全等），
△OME 是等腰直角三角形，
∴OE=6, BE=OA=2 ,CE=OB=4 ,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）
8．如圖，正方形ABCD的面積為18，菱形AECF的面積為6，則菱形的邊長(zhǎng)為 ．
【思路分析】
本題給出正方形和菱形，他們的對(duì)角線都是互相垂直平分的，
∴連接BD，AC
9．如圖，四邊形ABCD和CEFG都是菱形，連接AG、GE、AE，若∠F=60°，EF=4，則△AEG的面積為 ．
【思路分析】
本題給出兩個(gè)銳角為60°的菱形，
∴連接AC，可得∠ACB=∠GEC=60° ，
∴AC∥BG，
∴
（構(gòu)造平行線造等底等高，平行轉(zhuǎn)移）
10．如圖，E是□ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，若□ABCD的面積為8，則圖中陰影部分的面積為 ．
【思路分析】
過點(diǎn)E作AD的平行線交AB于G，交CD于F，利用平行轉(zhuǎn)移得：
11．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠B=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，AD，DC，CB上，且AF=CH，BE=DG=2.P是直線EF，GH之間的任一點(diǎn)，連接PE，PF，PG，PH，則△PEF與△PGH的面積之和為 .
【思路分析】
由已知易證△AEF≌△CGH，△BEH≌△DGF，
∴EF=GH，EH=FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∴由“三個(gè)一半，平行轉(zhuǎn)化”知連接EG，過點(diǎn)P作EF的平行線
因此
12．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB:BC=3:2，∠DAB=60°，點(diǎn)E在AB邊上，且AE:EB=1:2，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP⊥AF于點(diǎn)P，DQ⊥CE于點(diǎn)Q，則DP:DQ的值為
【思路分析】
∵DQ⊥CE，DP⊥AF，由“三個(gè)一半”得
(求兩高之比，由面積公式轉(zhuǎn)化為底邊之反比)
由已知數(shù)據(jù)求得：
五、重點(diǎn)提升
【中點(diǎn)結(jié)構(gòu)】
【垂直結(jié)構(gòu)】
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