重視學(xué)生解題錯(cuò)誤，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效益
江蘇省南通師范學(xué)校 （226006） 徐汝成
摘 要：學(xué)生的解題錯(cuò)誤具有獨(dú)特的教學(xué)意義，它不僅能提供各種學(xué)習(xí)途徑，還可以反饋教學(xué)信息，有效地調(diào)整教師的教學(xué)行為。教學(xué)中教師應(yīng)該準(zhǔn)確診斷學(xué)生的解題錯(cuò)誤，并針對(duì)具體情況即時(shí)靈活地采取針對(duì)性措施進(jìn)行處理，從而有效地提高教學(xué)效益。
關(guān)鍵詞：解題錯(cuò)誤，數(shù)學(xué)教學(xué)
在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們常常碰到學(xué)生犯這樣那樣的錯(cuò)誤，如何對(duì)待這些錯(cuò)誤？研究和實(shí)踐表明，高度地重視它，并采取積極有效的措施解決它，可以化不利因素為有利因素，有效地提高教學(xué)效益。
1．學(xué)生解題錯(cuò)誤的教學(xué)意義
日常教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的解題錯(cuò)誤，常常出現(xiàn)以下幾種不當(dāng)?shù)奶幚矸绞剑?/span>
敷衍型。在課堂教學(xué)中，面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師不去深入地分析其原因、認(rèn)真地處理它，而是采取敷衍的態(tài)度應(yīng)付它。如教師常常用這樣一句話，即“由于時(shí)間關(guān)系（其實(shí)不一定沒(méi)有時(shí)間）這個(gè)問(wèn)題（實(shí)指錯(cuò)誤）留給大家課后思考”，從而把教學(xué)引入到下一個(gè)環(huán)節(jié)。此時(shí)教師全然不顧該問(wèn)題是否可以當(dāng)場(chǎng)解決，是否應(yīng)該當(dāng)場(chǎng)解決，而課后對(duì)該問(wèn)題也不作深入的討論，有時(shí)只是簡(jiǎn)單地給一個(gè)結(jié)果，有時(shí)甚至不再過(guò)問(wèn)。這樣的教學(xué)，表面上保持了教學(xué)的流暢性，實(shí)際上放棄了良好的甚至是關(guān)鍵的教學(xué)機(jī)會(huì)。
簡(jiǎn)單型。即對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤采取簡(jiǎn)單的處理方式，如只是簡(jiǎn)單地?cái)喽ㄆ溴e(cuò)誤并直接給出正確的結(jié)果，既不發(fā)動(dòng)學(xué)生思考，也不深入剖析錯(cuò)誤的原因，形式上糾正了學(xué)生的錯(cuò)誤，其實(shí)際效果甚微。
不問(wèn)型。如學(xué)生考試中發(fā)生的錯(cuò)誤，只是打一個(gè)對(duì)錯(cuò)，評(píng)講試卷也只是統(tǒng)一給出正確答案，而對(duì)于那些錯(cuò)誤則不聞不問(wèn)，這就是不聞不問(wèn)型。
以上一些情況或多或少地反映在我們的日常教學(xué)中，其共同特點(diǎn)是，對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤未予足夠的重視，這往往使我們錯(cuò)過(guò)良好的教學(xué)機(jī)會(huì)，實(shí)際上學(xué)生的錯(cuò)誤具有獨(dú)特的教學(xué)意義。
1.1 提供學(xué)習(xí)途徑，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)
學(xué)生的錯(cuò)誤是教師教學(xué)的有效材料，教師可以通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤的討論分析、糾正，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)自己的思維錯(cuò)誤，確立更為牢固的正確觀念，完善已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
1.2 反饋教學(xué)信息，調(diào)整教學(xué)策略
學(xué)生的錯(cuò)誤從一定程度上反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，相應(yīng)地也反映了教師的教學(xué)情況，教師則可以通過(guò)對(duì)這些反饋信息的反思，找出教學(xué)中的不足，及時(shí)予以補(bǔ)救，并調(diào)整今后的教學(xué)策略，避免類似錯(cuò)誤重復(fù)。
1.3 引導(dǎo)探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)探索精神
一些隱蔽性很強(qiáng)的錯(cuò)誤，其解決需要一定時(shí)間和較強(qiáng)的思維能力，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行探究，探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅能夠糾正錯(cuò)誤，且通過(guò)探究活動(dòng)糾正的錯(cuò)誤留給他們更深的印象，更重要的是這種活動(dòng)能培養(yǎng)他們的探索精神。
1.4 引發(fā)研究課題，拓展學(xué)習(xí)空間
學(xué)生的有些錯(cuò)誤可以引發(fā)重要的研究課題，而這些課題的研究則可以超越問(wèn)題的本身，從而大大拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)空間。
例1：求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，―1），且與點(diǎn)A（―3，―1）和點(diǎn)B（7，―3）距離相等的直線方程。⑴
解（學(xué)生板演）：設(shè)所求直線方程為：y+1=k(x―2)，即kx―y―2k―1=0
由題意得 |―3k+1―2k―1|= |7k+3―2k－1|
即 |5k|=|5k+2|
故有 5k=－5k―2 ① 或 5k=5k+2 ②
由①得k=―1/10 ②式k不存在
∴所求直線方程為y+1=―1/10(x―2) 或x=2。
在此我們特別提及該生的解題過(guò)程，他開(kāi)始得出一個(gè)解，后來(lái)看到練習(xí)冊(cè)后面的參考答案是兩解，方把另一個(gè)解補(bǔ)上，他也為自已補(bǔ)上這一解找到了一個(gè)理由，即“k不存在”。學(xué)生解該題的一般錯(cuò)誤都是漏解，故當(dāng)時(shí)我的第一反映就是該解錯(cuò)誤，并將正確解答給出（當(dāng)然師生共同討論，很容易形成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)）。然而仔細(xì)想來(lái)，為什么這么巧呢？且其它題也有類似的情況，即方程中k不存在，正巧也驗(yàn)證得恰有斜率不存在的直線為其解。這便引發(fā)了一個(gè)研究課題：此種解法能有合理解釋嗎？
經(jīng)過(guò)討論和研究，我們發(fā)現(xiàn)該解法具有其合理性，首先我們重新審視一下直線斜率的定義，我們可以將斜率不存在定義為斜率存在，但這個(gè)存在是在有限概念之外，即包括無(wú)限，我們可以將直線垂直于x軸的直線的斜率定義為無(wú)窮大，方程②：5k=5k+2，在無(wú)限概念下有解，該根為無(wú)窮大，而k取無(wú)窮大時(shí)，意味著直線垂直于x軸，故有解x=2。
當(dāng)然學(xué)生的上述解答是錯(cuò)誤的，它的錯(cuò)誤是混淆了兩個(gè)“不存在”之間的區(qū)別，仍需糾正。
通過(guò)上述討論，學(xué)生的知識(shí)和思維都得到了升華，其載體是學(xué)生引發(fā)的研究課題。
2. 學(xué)生解題錯(cuò)誤的教學(xué)處理
2.1 準(zhǔn)確診斷學(xué)生的解題錯(cuò)誤
準(zhǔn)確診斷錯(cuò)誤是正確處理錯(cuò)誤的前提。診斷錯(cuò)誤主要是確定錯(cuò)誤的類型和原因，以錯(cuò)誤的原因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)可以將學(xué)生的錯(cuò)誤作如下分類（如圖1）
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（圖1）
由于認(rèn)知因素而導(dǎo)致的錯(cuò)誤我們稱之為認(rèn)知型錯(cuò)誤，因?yàn)榍楦幸蛩兀ㄈ绱中拇笠猓┒鴮?dǎo)致的錯(cuò)誤稱之為情感型錯(cuò)誤；當(dāng)錯(cuò)誤反映的是學(xué)生的真實(shí)思想（即腦子里確實(shí)是這樣想的）則稱為實(shí)質(zhì)型錯(cuò)誤，如果腦子里想的是正確的而只是表達(dá)方式出現(xiàn)錯(cuò)誤，稱之為表達(dá)型錯(cuò)誤，如a不等于b且不等于c，表達(dá)成a≠b≠c，這種表達(dá)內(nèi)涵模糊，不能正確反映其真實(shí)思想即是表達(dá)型錯(cuò)誤；實(shí)質(zhì)型錯(cuò)誤又可以分為知識(shí)型錯(cuò)誤和方法型錯(cuò)誤兩類，知識(shí)型錯(cuò)誤是指運(yùn)用知識(shí)有誤而導(dǎo)致的錯(cuò)誤，而方法型錯(cuò)誤則是指思維的方法有誤而導(dǎo)致錯(cuò)誤。
上述分類盡管有許多值得商榷之處，然而由于其分類標(biāo)準(zhǔn)即是犯錯(cuò)之原因，故據(jù)此分析學(xué)生的錯(cuò)誤，實(shí)際上是將錯(cuò)誤進(jìn)行準(zhǔn)確的定位，即找到了其錯(cuò)誤的實(shí)質(zhì)性原因，故有利于對(duì)錯(cuò)誤的正確處理。即據(jù)此分類分析更易找到處理問(wèn)題有效的方法和策略。
例2：已知3sinβ=sin(2α+β)，求證：tan(α+β)=2tanα。
解（學(xué)生）：3sinβ=sin(2α+β)
3sinβ=sin2αcosβ+cos2αsinβ
3sinβ=2sinαcosαcosβ+(2cos2α－1)sinβ
4sinβ=2cosα(sinαcosβ+cosαsinβ)
=sin(α+β)（解題到此為止） ⑵
分析上述學(xué)生的解題過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)，該生（很多學(xué)生都反映出類似的情況）最大問(wèn)題是思維方法錯(cuò)誤，即在進(jìn)行每一步運(yùn)算時(shí)，心中沒(méi)有明確而正確的目標(biāo)（盲目），從而導(dǎo)致解題失敗，故我們稱之為方法型錯(cuò)誤。有了上述準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，不難找到解決問(wèn)題的具體策略，那就是加強(qiáng)對(duì)學(xué)生解題中目標(biāo)意識(shí)的培養(yǎng)。
2.2 靈活處理學(xué)生的解題錯(cuò)誤
學(xué)生的錯(cuò)誤是多種多樣的，因此處理的方式也應(yīng)該是靈活多樣的。任何一個(gè)錯(cuò)誤都有錯(cuò)誤的時(shí)間、錯(cuò)誤的主體、錯(cuò)誤的原因，在處理錯(cuò)誤的時(shí)候首先必分清錯(cuò)誤的類型，找到錯(cuò)誤的原因，同時(shí)還應(yīng)考慮時(shí)間、主體等相關(guān)因素來(lái)確定處理的方式。然而，不管采取什么樣的方法和手段，都必須遵循以下幾條原則：
2.2.1 即時(shí)性原則
即時(shí)性原則，即就是發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤及時(shí)處理、不拖延。及時(shí)處理學(xué)生的錯(cuò)誤，便于學(xué)生及時(shí)地認(rèn)識(shí)、改正錯(cuò)誤，且由于其即時(shí)性，容易給學(xué)生留下深刻記憶，而且即時(shí)處理還比事后處理節(jié)約時(shí)間，能提高教學(xué)效率。當(dāng)然這里的即時(shí)性不是絕對(duì)意義下的時(shí)間性，而是相對(duì)意義下的時(shí)間，如當(dāng)學(xué)生在課堂上出現(xiàn)某個(gè)錯(cuò)誤，鑒于時(shí)間的限制，或問(wèn)題的難度，或培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的需要，可能延遲到課后解決，這仍然屬于即時(shí)處理。
2.2.2 針對(duì)性原則
任何一個(gè)錯(cuò)誤都有錯(cuò)誤的主體（犯錯(cuò)的人）、錯(cuò)誤的時(shí)間、錯(cuò)誤的類型（什么樣的錯(cuò)誤），故在處理錯(cuò)誤時(shí)應(yīng)充分考慮這三個(gè)因素，拿出有針對(duì)性措施。如同一個(gè)形式的錯(cuò)誤反映在不同的學(xué)生身上，就可能有不同的原因，我們就應(yīng)采取不同的處理策略，這就是針對(duì)性原則。解不等式（組）中學(xué)生常常將邏輯連結(jié)詞“或”和“且”用混淆，有的是因?yàn)槲茨?span id="moiyehiw" class="GramE">正理解這兩個(gè)概念的含義而造成錯(cuò)誤，有的則是由于粗心大意所造成的錯(cuò)誤，對(duì)于前者教師必須詳細(xì)地啟發(fā)講解，對(duì)于后者教師只需點(diǎn)撥啟發(fā)并提出做題時(shí)應(yīng)具有的情商即可。
2.2.3 靈活性原則
即根據(jù)錯(cuò)誤的特點(diǎn)，靈活選用處理方法，而不拘泥于一種形式。如錯(cuò)誤帶有一定的普遍性則可以采取集體訂正的方式，如錯(cuò)誤是一種頑癥，則可以通過(guò)研究性學(xué)習(xí)的方式來(lái)解決，如一個(gè)錯(cuò)誤隱蔽性很強(qiáng)且具有一定的啟發(fā)性，則可以通過(guò)延時(shí)處理的方式進(jìn)行。如果不管什么問(wèn)題都采取同一種方式處理（老師喜歡或習(xí)慣用講解式）則會(huì)失去針對(duì)性，自然也會(huì)降低問(wèn)題處理的效果。尤其要指出的是，如果一些錯(cuò)誤學(xué)生可以通過(guò)自己的思考得到糾正，則老師決不要包辦代替，而要讓學(xué)生自己去思考解決。
2.2.4 發(fā)展性原則
即不是就事論事，而是用發(fā)展的眼光，通過(guò)處理一個(gè)錯(cuò)誤，使學(xué)生獲得對(duì)一類問(wèn)題的深刻認(rèn)識(shí)，或通過(guò)處理個(gè)別（少數(shù)）學(xué)生的錯(cuò)誤，使所有的學(xué)生都從中獲得啟發(fā)。
例3：學(xué)生為區(qū)別同一平面直角坐標(biāo)系中的兩條不同直線，就在所求兩直線方程的變量上分別加上腳碼，如L1：x1+y1―1=0，L2：2x2+3y2+2=0。
對(duì)于學(xué)生的這個(gè)錯(cuò)誤，我們就不能僅僅簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生不需要加腳碼即完，而要深入地分析學(xué)生思維錯(cuò)誤的深層次原因，通過(guò)這一個(gè)問(wèn)題看到學(xué)生思維的其他類似問(wèn)題，通過(guò)一個(gè)學(xué)生錯(cuò)誤的處理使大多數(shù)學(xué)生都受到有益的啟示。
實(shí)際上該錯(cuò)誤反映了學(xué)生思維的形式化，即未能真正理解方程表示曲線的本質(zhì)，方程實(shí)際上反映了直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)兩個(gè)量之間的一種內(nèi)在制約關(guān)系，這種關(guān)系的不同決定了其所表達(dá)的直線的不同。這種形式化思維在其它一些地方也經(jīng)常發(fā)生，如在學(xué)習(xí)反函數(shù)時(shí)，很多同學(xué)對(duì)于求反函數(shù)后要將x、y對(duì)調(diào)的理解往往是停留在表面上的，解題乃是模仿性的（書(shū)上或老師這樣做也就這樣練習(xí)），而對(duì)于交換x、y后其集合與集合之間的映射關(guān)系并沒(méi)有改變沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的理解。故我們認(rèn)為，實(shí)際上是學(xué)生錯(cuò)誤即是用靜止的、孤立、不變的觀點(diǎn)看問(wèn)題，缺乏應(yīng)有的運(yùn)動(dòng)觀、辯證觀。而這種觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)變是相當(dāng)困難的，恩格斯把笛卡爾的變量進(jìn)入數(shù)學(xué)看作是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就說(shuō)明了這一點(diǎn)。可以說(shuō)運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)、辨證的觀點(diǎn)對(duì)所有同學(xué)來(lái)說(shuō)都是一個(gè)需要長(zhǎng)期培養(yǎng)的問(wèn)題。據(jù)此，我們沒(méi)有簡(jiǎn)單地將學(xué)生的錯(cuò)誤糾正過(guò)來(lái)，而是發(fā)動(dòng)所有的同學(xué)進(jìn)行討論，尋找問(wèn)題的根源，并討論問(wèn)題的范圍進(jìn)行適度擴(kuò)大，將反函數(shù)中的問(wèn)題拿出，讓學(xué)生進(jìn)行辨別，通過(guò)討論交流、辨別了錯(cuò)誤，通過(guò)討論同學(xué)們的思維獲得了提升，通過(guò)討論所有的同學(xué)都獲得了教益。
參考文獻(xiàn)：
⑴高中數(shù)學(xué)課課練（二年級(jí)上學(xué)期）. 江蘇教育出版社. 2001，6 P58。
⑵徐汝成 . 目標(biāo)意識(shí)在解題中的作用[J] . 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考. 2001，⑼:30。
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