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導(dǎo)數(shù)解題思想淺析

陜西省山陽(yáng)中學(xué)李書敏

一、學(xué)生存在的問(wèn)題：

1、切線問(wèn)題，沒(méi)有設(shè)切點(diǎn)的意識(shí)，帶入解析式不全面還糾纏不清。

2、求導(dǎo)后不變形，導(dǎo)致難以判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，或者不會(huì)判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，產(chǎn)生思維中斷現(xiàn)象。

3、忽略定義域，導(dǎo)致失分。

4、不能發(fā)現(xiàn)參數(shù)引起的分歧，不會(huì)對(duì)參數(shù)引起的分歧進(jìn)行討論。

5、沒(méi)有進(jìn)行逆向思維的習(xí)慣，或者逆向思維經(jīng)驗(yàn)不足，無(wú)法破解題意。

二、導(dǎo)數(shù)的基本問(wèn)題

1.題型：

1).切線問(wèn)題。

2).單調(diào)性，極值，值域，最值問(wèn)題。

3).函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)的個(gè)數(shù)和分布問(wèn)題。

4).不等式恒成立、存在性、不等式證明問(wèn)題。

5).與數(shù)列、不等式、解析幾何的綜合問(wèn)題。

2.常規(guī)步驟：

1）求導(dǎo)數(shù)并變形，寫出定義域。

變形的方法：

①.整式：因式分解或配方。

②.分式：通分母，并因式分解。

③.指數(shù)式：提取公因式。

④根式：分子有理化

2）解方程 ,判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)

判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)的方法：

①.檢驗(yàn)法。②.圖像法。③.單調(diào)性法。④.求導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

3）列表由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確認(rèn)原函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值

4）畫函數(shù)草圖解決問(wèn)題。

三、難點(diǎn)分布及突破難點(diǎn)的方法

1．難點(diǎn)分布：

1).無(wú)切點(diǎn)的切線問(wèn)題；

2).含參討論，分段討論；

3).不等式證明、恒成立、存在性問(wèn)題；

4).與數(shù)列、不等式、解析幾何的綜合問(wèn)題。

2.突破難點(diǎn)的方法：

1）切線問(wèn)題，函數(shù)y=f(x)：

①設(shè)切點(diǎn)為(x₀,y₀)

②求導(dǎo)，y'=f'(x),

③三代入：

2）.參數(shù)影響到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，就根據(jù)分歧分類討論，絕對(duì)值函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，分兩部分討論研究。

一般的分歧有：

①參數(shù)對(duì)整體正負(fù)的影響。

②參數(shù)對(duì)有根無(wú)根、根的大小的影響，不能自認(rèn)為有根。

③參數(shù)對(duì)根在區(qū)間內(nèi)外的影響，不能自認(rèn)為根在區(qū)間內(nèi)。

3）.構(gòu)造函數(shù)解決不等式證明、恒成立和存在性問(wèn)題。

有兩種構(gòu)造函數(shù)的方法：

①主變量法，在那個(gè)變量的區(qū)間上恒成立，就以這個(gè)變量為主變量構(gòu)造函數(shù)。

②分離法，把兩個(gè)變量分離到不等式兩邊，構(gòu)造函數(shù)。

③構(gòu)造左右兩個(gè)函數(shù)，比較們它的最值。

 ④放縮法，對(duì)于含以自然常數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式，利用它們的切線（一次函數(shù)）進(jìn)行放縮證明

構(gòu)造函數(shù)的方向，函數(shù)越熟悉越好,能判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可。

4）.采用逆向思維和聯(lián)想的方法解決導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、不等式、解析幾何的綜合問(wèn)題。

四、例證

1、切線問(wèn)題