楊渭清：從《九章算術(shù)》與《幾何原本》看中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué) 作者：[楊渭清] 來源：[《西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)》2008年10月] 瀏覽：[577] 2012-12-13
摘 要:通過對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的《九章算術(shù)》和古希臘數(shù)學(xué)的《幾何原本》進(jìn)行比較,掌握、了解中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)及古希臘數(shù)學(xué)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、主要特征和成就等,分析了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的價(jià)值、特點(diǎn). 闡明了應(yīng)當(dāng)充分重視中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的實(shí)用與算法的傳統(tǒng),同時(shí)又必須吸收人類一切有益的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造,以適應(yīng)時(shí)代、社會(huì)的發(fā)展.
我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》流傳至今已達(dá)兩千余年之久,不僅指導(dǎo)著我國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展,而且早已流傳到世界各地,翻譯成日、英、俄、德等多種文字,對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有不可估量的巨大貢獻(xiàn)和影響. 把《九章算術(shù)》與西方最早的一本數(shù)學(xué)名著歐幾里得的《幾何原本》相對(duì)照,就可以發(fā)現(xiàn)從形式到內(nèi)容都各有特色和所長(zhǎng),形成東、西方數(shù)學(xué)的不同風(fēng)格.
《九章算術(shù)》和《幾何原本》同為世界最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典.《九章算術(shù)》以其實(shí)用、算法性稱譽(yù)世界,《幾何原本》以其邏輯演繹的思想方法風(fēng)靡整個(gè)科學(xué)界. 二者是互相補(bǔ)充的,并非一個(gè)掩蓋另一個(gè). 中國(guó)數(shù)學(xué)屬于機(jī)械化算法體系;著眼于“算”———把問題分門別類,然后用一個(gè)固定的方程式解決一類問題的計(jì)算. 而古希臘數(shù)學(xué)屬于公理化演繹體系,著眼于“理”———首先給出公理、公設(shè)、定義,爾后在此基礎(chǔ)上有條不紊地、由簡(jiǎn)到繁地進(jìn)行一系列定理的證明.
1 《九章算術(shù)》主要價(jià)值
(1)《九章算術(shù)》以算法為中心,屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)
中國(guó)數(shù)學(xué)不脫離社會(huì)生活與生產(chǎn)的實(shí)際,以解決實(shí)際問題為目標(biāo),數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開的.
例如在《九章算術(shù)》的第二、三、六等章內(nèi),廣泛地使用了各種比例解應(yīng)用問題. 粟米章的開始就列舉了各種糧食間互換的比率如下:“粟米之法:粟率五十,糲米三十,粺米二十七,糳米二十四, ……”這是說:谷子五斗去皮可得糙米三斗,又可舂得九折米二斗七升,或八拆米二斗四升,……
又例如,粟米章第一題:“今有粟米一斗,欲為糲米,問得幾何”. 它的解法是:“以所有數(shù)乘所求率為實(shí),以所有率為法,實(shí)如法而一”. 用現(xiàn)代的方式來表達(dá),即為公式:
或所求數(shù)=所有數(shù)×所求率/所有率
或所求數(shù)∶所有數(shù)=所求率∶所有率
這個(gè)題是欲將粟米換成糲米,其中“粟米一斗(十升) ”是“所有數(shù)”,糲米數(shù)即為“所求數(shù)”,按規(guī)定“粟率五十”為“所有率”,糲米30為“所求率”. 于是得所求數(shù)為10 ×30 ÷50 = 6 (升) ,這就是說一斗谷子可以礱得六升糙米. 因而可以根據(jù)物與物的比率,再由今有數(shù)(所有數(shù))即可求得未知數(shù)據(jù)(所求數(shù)) ,因?yàn)檫@類應(yīng)用問題大都依據(jù)“今有”的數(shù)據(jù),問所求的數(shù),因此我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽就用“今有術(shù)”作為這類比例問題解法的專用名詞.
(2)《九章算術(shù)》具有較強(qiáng)的社會(huì)性
中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中,數(shù)學(xué)被儒學(xué)家培養(yǎng)人的道德與技能的基本知識(shí)———六藝(禮、樂、射、御、書、數(shù))之一,它的作用在于“通神明、順性命,經(jīng)世務(wù)、類萬(wàn)物”.
例如《九章算術(shù)》中另一個(gè)常用的比率算法是衰分術(shù),所謂“衰分”就是差分. 比例分配的意思,它是古代處理配分問題的一般方法,“衰分術(shù)曰,各置列衰(即所配的比率) ,副并(得所配比率的和)為法,以所分乘未并者各自為實(shí),實(shí)如法而一”,劉徽注的《九章算術(shù)》說:“列衰各為所求率,副并(所得的和)為所有率,所分為所有數(shù)”,用“今有術(shù)”計(jì)算,就可以得到各所求數(shù). 例如衰分章第二題:“今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰,我羊食半馬(所食) ,馬主曰,我馬食半牛(所食) ,今欲衰償之,問各幾何”,依照羊主人、馬主人的話,牛、馬、羊所食粟相互之比率是4 ∶2 ∶1,就用4、2、1各為所求率, 4 + 2+ 1 = 7為所有率,粟50升為所有數(shù). 以“今有術(shù)”演算分別得牛主人應(yīng)償50 ×4/7= 28+4/7(升) ,馬主人應(yīng)償14+2/7(升) ,羊主人應(yīng)償7+4/7(升).
所以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中國(guó)哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印,往往與術(shù)數(shù)交織在一起. 同時(shí),數(shù)學(xué)教育與研究往往被封建政府所控制,唐宋時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度、歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員,這些事例充分反映了這一性質(zhì).
(3)《九章算術(shù)》寓理于算,理論高度概括
由于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問題,而且因中國(guó)人綜合、歸納思維的決定,所以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化,但這并不意味中國(guó)傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次而無理論建樹. 其實(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ),中國(guó)數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個(gè)不證自明、形象
直觀的數(shù)學(xué)原理之上.
如代數(shù)中的“率”的理論,平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理,立體幾何中的“陽(yáng)馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”(或稱劉祖原理,即卡瓦列利原理)等等.
我們知道關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)有兩項(xiàng)基本工作———證明與計(jì)算,前者是由于接受了公理化(演繹化)數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng),后者是由于接受了機(jī)械化(算法化)數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng). 在世界數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)中,以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數(shù)學(xué),無疑是西方演繹數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ),而以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)數(shù)學(xué)無疑是東方算法化數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ),它們東西輝映,共同促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展.
中國(guó)數(shù)學(xué)通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區(qū),后來經(jīng)阿拉伯人傳入西方. 而且在漢字文化圈內(nèi),一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國(guó)家的數(shù)學(xué)發(fā)展.
2 《九章算術(shù)》所代表的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)
通過對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的《九章算術(shù)》和古希臘數(shù)學(xué)的《幾何原本》比較,我們可清楚的看到中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)如下:
(1)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最基本的特點(diǎn)是具有鮮明的社會(huì)性. 通觀中國(guó)古典數(shù)學(xué)著作的內(nèi)容,幾乎都與當(dāng)時(shí)社會(huì)生活的實(shí)際需要有著密切的聯(lián)系. 從《九章算術(shù)》開始,中國(guó)算學(xué)經(jīng)典基本上都遵從問題集解的體例編纂而成,其內(nèi)容反映了當(dāng)時(shí)社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、文化等方面的某些實(shí)際需要,具有濃厚的應(yīng)用數(shù)學(xué)的色彩.
(2)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育與研究始終置于政府的控制之下,以適應(yīng)統(tǒng)治階級(jí)的需要.
(3)中國(guó)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)論著深受歷史上各種社會(huì)思潮、哲學(xué)流派以至宗教神學(xué)的影響,具有形形色色的社會(huì)痕跡.
(4)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是以幾何方法和代數(shù)方法的相互滲透表現(xiàn)為形數(shù)結(jié)合的,是用算籌來計(jì)算的,并采用了十進(jìn)位制. 同時(shí),用一整套“程序語(yǔ)言”來揭示計(jì)算方法,而演算程序簡(jiǎn)捷而巧妙.
(5)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論表現(xiàn)為運(yùn)算過程之中,即“寓理于算”. 中國(guó)數(shù)學(xué)家善于從錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中抽象出深刻的數(shù)學(xué)概念,提煉出一般的數(shù)學(xué)原理,作為研究眾多數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ).
古希臘數(shù)學(xué)屬于公理化演繹體系,著眼于“理”———首先給出公理、公設(shè)、定義,爾后在此基礎(chǔ)上有條不紊地、由簡(jiǎn)到繁地進(jìn)行一系列定理的證明;中國(guó)數(shù)學(xué)屬于機(jī)械化算法體系;著眼于“算”———把問題分門別類,然后用一個(gè)固定的方程式解決一類問題的計(jì)算.
3 結(jié)束語(yǔ)
中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué),大部分以“管理數(shù)學(xué)”的形式出現(xiàn),目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計(jì)算稅收、運(yùn)輸糧食等國(guó)家管理的實(shí)用目標(biāo). 理性探討在這里退居其次. 因此,從文化意義上看,中國(guó)數(shù)學(xué)可以說是“管理數(shù)學(xué)”,存在的形式則是官方的文書. 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用的管理數(shù)學(xué),在算法上得到了長(zhǎng)足的發(fā)展. 負(fù)數(shù)的運(yùn)用、解方程的開根法,以及楊輝(賈憲)三角、祖沖之的圓周率計(jì)算、天元術(shù)那樣的精致計(jì)算課題,也只能在中國(guó)誕生,而為古希臘文明所輕視. 因此,我們應(yīng)當(dāng)充分重視中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的實(shí)用與算法的傳統(tǒng),同時(shí)又必須吸收人類一切有益的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造,以適應(yīng)時(shí)代、社會(huì)的發(fā)展.
（作者系西安文理學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授）
