今天的例題依然是關(guān)于全等三角形中軸對(duì)稱型的一道經(jīng)典例題。本題運(yùn)用兩種的輔助線的添法，來實(shí)現(xiàn)證明軸對(duì)稱型全等三角形，以此得到關(guān)鍵的條件性質(zhì)完成后續(xù)的推導(dǎo)。
例12 如圖：5-31，已知：△ABC中，BC=2AB，D是BC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，求證：AC=2AE
圖5-31
分析：本題要證明AC=2AE，這是兩條線段之間的倍半關(guān)系，所以可根據(jù)線段倍半關(guān)系的定義，將倍線段AC二等分，也就是取AC的中點(diǎn)F以后，應(yīng)證AC的一半也就是AF和AE相等。
在作出了F是AC的中點(diǎn)后，由已知D是BC的中點(diǎn)，就出現(xiàn)了兩個(gè)中點(diǎn)，是多個(gè)中點(diǎn)問題，就可以應(yīng)用三角形中位線的基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行證明。由于D、F所在的線段BC、AC有公共的端點(diǎn)C，可以組成三角形，所以DF這兩個(gè)中點(diǎn)的連線就是三角形的中位線。而現(xiàn)在圖形中是有三角形而沒有中位線，所以應(yīng)將中位線添上，也就是聯(lián)結(jié)DF（如圖5-32），就可得DF∥BA，DF=1/2·AB。另一方面，由條件BC=2AB，且D是BC的中點(diǎn)，所以有BD=BA，但E也是BD的中點(diǎn)，從而得DE=1/2·BD=1/2·AB，所以DE=DF。
圖5-32
這樣，由我們要證的結(jié)論AE=AF，就可以發(fā)現(xiàn)△ADE和△ADF必定是一對(duì)軸對(duì)稱型全等三角形。由于在這兩個(gè)三角形中已經(jīng)出現(xiàn)了兩條邊對(duì)應(yīng)相等的條件，而第三條邊相等是結(jié)論，不能用，這樣第三個(gè)條件只能是證明這兩條邊所夾的角相等，也就是應(yīng)證∠ADE=∠ADF。而由DF∥BA，可得∠ADF=∠BAD，由BD=BA，又可得∠BDA=∠BAD，所以上述性質(zhì)可以證明。
本題在根據(jù)線段之間的倍半關(guān)系的定義進(jìn)行分析時(shí)，也可以先作出半線段的兩倍，也就是延長(zhǎng)AE到F，使FE=AE，那么問題就應(yīng)證AC=AF。
而在作出了FE=AE后，由于條件中還出現(xiàn)BE=DE，且AF、BD相交于E，就出現(xiàn)了兩組相等線段都位于一組對(duì)頂角的兩邊，且成一直線，所以可添加一對(duì)中心對(duì)稱型全等三角形進(jìn)行證明。添加的方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩聯(lián)結(jié)起來，于是聯(lián)結(jié)DF（如圖5-33），則由FE=AE，∠FED=∠AEB，DE=BE，就可得：△FED≌△AEB，AB=FD，∠ABE=∠FDE。這樣由條件BC=2AB，就可得BC=2FD，而已知BD=CD，所以FD=CD。
圖5-33
現(xiàn)在由我們要證的結(jié)論AF=AC，就可以發(fā)現(xiàn)△AFD和△ACD是一對(duì)軸對(duì)稱型全等三角形。而在這兩個(gè)三角形中，現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)的條件是FD=CD和AD=AD，所以還要證明一個(gè)條件。但第三條邊相等的性質(zhì)是結(jié)論，不能用，所以只能證這兩邊所夾的角相等，也就是要證∠ADF=∠ADC。由條件B、D、C成一直線，所以∠ADC是△BAD的外角，就有∠ADC=∠B+∠BAD，而∠ADF=∠FDE+∠BDA，且已經(jīng)證明∠B=∠FDE，所以問題就轉(zhuǎn)化成要證∠BAD=∠BDA，但我們已經(jīng)有BD=BA，所以這一性質(zhì)可以證明。
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