證明線段相等是最常見的幾何題，而證明線段的不等關(guān)系也會常常遇到，這類題型該怎么考慮？從哪里切入？今天就談?wù)勥@個問題.
首先，若在同一個三角形中，通過定理“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”可作出判斷；當(dāng)要證的不等關(guān)系中的線段，不在同一個三角形中時，可設(shè)法構(gòu)造全等三角形，通過等量代換將它們集中到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理加以證明.
下面我們通過三道典型例題來詳細(xì)探究這個問題：
例1、已知：如下圖所示，△ABC中，AB＞AC，AD為三角形的中線. 求證：AD＜1/2（AB+AC）.
分析：要求證的不等式可以變形為2AD＜AB+AC，需將2AD，AB，AC三線段集中到同一個三角形中，為此，如下圖所示，延長AD到E，使DE=AD，則AE=2AD，這樣問題就轉(zhuǎn)化為證AE＜AB+AC即可. 連接CE，則由SAS定理可證得△ABD≌△ECD，所以EC=AB. 于是三條線段就集中到△AEC中，由三角形三邊關(guān)系定理便可推出結(jié)論.
點(diǎn)評：要把證明的線段集中到同一個三角形中是解決問題的關(guān)鍵，是戰(zhàn)略思想，然后“見中點(diǎn)，要倍長，倍長之后證全等”是具體步驟，知行合一，從而得到解決問題的鑰匙.
例2、如下圖所示，△ABC中，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，延長AC到E，使CE=BD，DE交BC于點(diǎn)F. 求證：DE＞BC.
分析：要證DE＞BC，即證DF+FE＞BC. 因此，需構(gòu)造一個三角形，使線段DF、EF、BC為這個三角形的三邊.
如下圖，延長FB到G，使BG=CF，連接DG. 由SAS可證得△BDG≌△CEF，所以DG=EF，在△DFG中，有DF+DG＞GB+BF，所以DF+EF＞CF+BF，即DE＞BC.
點(diǎn)評：設(shè)法把要證的邊轉(zhuǎn)化到同一個三角形中是解決問題的關(guān)鍵.
例3、已知：如下圖所示，在△ABC中，AB＞AC，AD為∠A的平分線，P為AD上任意一點(diǎn). 求證：PB-PC＜AB-AC.
分析：要證的不等式是兩邊之差，故可聯(lián)想三角形兩邊之差小于第三邊的定理，若把AB-AC變成一個三角形的邊將是很好的一個思路. 在AB上截取AE=AC，則BE=AB-AC. 這樣PB、BE在同一個三角形中，即PB與AB-AC在△BPE中，若能證出PE=PB，問題就可以解決. 因為AD為∠A的平分線，AE=AC，很容易由SAS定理證得△APE≌△APC，所以PE=PB，問題得到解決.
點(diǎn)評：當(dāng)所證的式子中多于三條線段，常需截長補(bǔ)短，作出線段差或線段和，構(gòu)造全等三角形，將它們集中在同一三角形中，利用三角形兩邊之和大于第三邊，或兩邊只差小于第三邊來證明.
【配套練習(xí)】
1、已知：如下圖，AD是△ABC的中線，∠ADB、∠ADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F. 求證：BE+CF＞EF.
2、已知：如下圖，AD為△ABC的角平分線，過A引直線MN⊥AD，過B作BE⊥MN于點(diǎn)E. 求證：EB+EC＞AB+AC.
【答案】
1、如下圖，延長ED到G，使DG=ED，連接FG，證FG=EF，GC=BE，∵ CG+CF＞EG，∴ BE+CF＞EF.
2、如下圖，在CA延長線上截取AF=AB，連接FE，證FE=BE ∵ FE+EC＞FC，∴ EB+EC＞AB+AC.
