努力做最好的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育公眾號(hào)，
努力做一個(gè)最丑的公眾號(hào)。
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對(duì)于三角形的中點(diǎn)相關(guān)的問(wèn)題，我們來(lái)看一些簡(jiǎn)單的例子。
例1 已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F，且DF=EF，求證BD=CE.
一看這兩條線段不在同一個(gè)三角形中的等量關(guān)系，很自然就要考慮全等，這對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)是再正常不過(guò)的。關(guān)鍵是：哪兩個(gè)三角形全等？
我們找全等的依據(jù)就是看這兩條線段的隸屬關(guān)系。BD在△BDF中，CE在△CEF中，但是肉眼可見(jiàn)這兩個(gè)三角形不可能全等，于是本題肯定要加輔助線。
當(dāng)然，如果我們用梅涅勞斯定理的話就是一句話的事情，但是這個(gè)定理目前我們還沒(méi)有介紹。有意思的是，我還打算在小學(xué)求面積部分講這個(gè)定理的應(yīng)用——因?yàn)閷?shí)在是太方便了。
那么不用梅氏定理怎么做？
在確定了要加輔助線之后，接下來(lái)就是要考慮：加在哪里？
F是DE的中點(diǎn)，如果考慮取中，那么應(yīng)該考慮AE或者AD的中點(diǎn)，但是無(wú)論取哪個(gè)中點(diǎn)，我們都無(wú)法和要證明的兩條線段聯(lián)系起來(lái)，于是此路不通；
作平呢？
作誰(shuí)的平行線？
要想明白這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)還是要搞清楚我們?yōu)槭裁匆髌剑?/span>作平基本上就是為了把那些不在一個(gè)三角形的線段挪到一個(gè)三角形中去。于是我們可以嘗試過(guò)E作EP平行于AB，交BC的延長(zhǎng)線于P。
由于平行，∠P=∠B，∠DFB=∠PFE，DF=FE，于是可以知道△DFB全等于△EFP，推出BD=PE，看，我們已經(jīng)成功地把要證明的兩條線段轉(zhuǎn)移到一起了。那么要證明這兩條線段相等，必然是證明相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角相等。
等邊證等角，等角證等邊。
那么PE和CE對(duì)應(yīng)的角分別是∠ECP和∠P，這兩個(gè)角會(huì)相等么？
當(dāng)然會(huì)了。。。關(guān)鍵是怎么證？我們注意到，此時(shí)還有一個(gè)條件：AB=AC沒(méi)有用上，考慮到等邊對(duì)等角，那么應(yīng)該有∠B=∠ACB=∠ECP，而由于平行的原因，∠B=∠P，所以∠P=∠ECP，即PE=CE，命題得證。
例2 已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證AF=EF。
AF和EF在同一個(gè)三角形內(nèi)，所以第一反應(yīng)就是證明△AEF是等腰三角形，于是我們考慮是否能證明∠FAE=∠FEA。
仔細(xì)觀察圖，發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)等角關(guān)系：即∠AEF=∠BED，但是從∠BED到∠EAF似乎有點(diǎn)遠(yuǎn)。。。看來(lái)不是條好的路子。所以想直接通過(guò)角的關(guān)系基本可以放棄，基本上可以肯定是要加輔助線了。
下一個(gè)問(wèn)題：加在哪里？
既然有中線，我們很自然考慮倍長(zhǎng)。于是我們把AD延長(zhǎng)一倍到P，連接BP。由前面的結(jié)論可知，△ADC全等于△PDB。
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