在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如何添加輔助線是同學(xué)們經(jīng)常感到頭疼的問題，許多同學(xué)常常因輔助線的添加方法不當(dāng)，造成解題困難。考試時(shí)也常因輔助線的添法不當(dāng)而導(dǎo)致既得不到本題的分?jǐn)?shù)，又白白浪費(fèi)了考試時(shí)間。為了解決這個(gè)問題我根據(jù)多年初中幾何教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把全等三角形的幾種常見輔助線作法編成一個(gè)“順口溜”，現(xiàn)將該歌訣寫出來奉獻(xiàn)給同學(xué)們，但愿能給大家的學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)帶來一些幫助。
人人都說幾何難，難就難在輔助線。
輔助線，如何添？構(gòu)造全等很關(guān)鍵。
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
三角形中有中線，延長中線造全等。
角平分線加平行，構(gòu)造等腰三角形。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。
下面舉出一些具體的例子說明如下：
例1.已知：如圖1所示， AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4。
求證：BE+CF>EF。
分析：要證BE+CF>EF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，把EN，FN，EF移到同個(gè)三角形中。
證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF。
注意：當(dāng)證明題中有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到相等元素。
例2.已知：如圖2所示，AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，
求證：BE+CF>EF。
證明：延長ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。
注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。
例3.已知：如圖3所示，AD為△ABC的中線，
求證：AB+AC>2AD。
分析：要證AB+AC>2AD，由圖形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：
AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
但它的左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。
證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CE。
注意：在三角形中線時(shí)，常廷長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。
例4.已知：如圖4所示，AB∥CD，AD∥BC。
求證：AB=CD。
分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。
證明：連接AC（或BD）。
注意：連接四邊形的對角線，可把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。
例5.已知：如圖5所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延長于E 。
求證：BD=2CE
分析：要證BD=2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，
同時(shí)CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。
證明：分別延長BA，CE交于F。
注意：有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長。
例6.已知：如圖6所示，AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB=DC，AC=BD，
求證：∠A=∠D。
分析：要證∠A=∠D，可證它們所在的三角形
△ABD和△DCO全等，而只有AB=DC和對頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如連接BC，則△ABD和△DCO全等，所以，證得∠A=∠D。
證明：連接BC，……
注意：連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。
例7.已知：如圖7所示，AB=DC，∠A=∠D。
求證：∠ABC=∠DCB。
分析：由AB=DC，∠A=∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN=CN，∠ABN=∠DCN。下面只需證∠NBC=∠NCB，問題得證。
證明：取AD中點(diǎn)N，連接NB，NC。
注意：取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形。
例8.已知：如圖8所示，D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),
求證：AB+AC>BD+DE+CE.
證明：（法一圖8-1）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N。
（法二圖8-2）延長BD交 AC于F，廷長CE交BF于G。
注意：在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。
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