在處理平面幾何中的許多問題時(shí)，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決，而我們需要的圓并不存在（有時(shí)題設(shè)中沒有涉及圓，有時(shí)雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要的圓），這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實(shí)際存在的圓找出來，通過添加輔助圓，做到'圖中無圓，心中有圓'。下面講述一構(gòu)造輔助圓常見模型來求解圓的最值問題，給人耳目一新的感覺，令人深思。
1．（2019·武漢模擬）如圖，點(diǎn)D在半圓O上，半徑OB＝√61，AD＝10，點(diǎn)C在弧BD上移動(dòng)，連接AC，H是MC上一點(diǎn)，∠DHC＝90°，連接BH，點(diǎn)C在移動(dòng)的過程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴點(diǎn)H在以M為圓心，MD為半徑的⊙M上，
∴當(dāng)M、H、B共線時(shí)，BH的值最小，
∴BH的最小值為BM﹣MH＝13﹣5＝8．故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用輔助線＝圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
變式1．（2018秋·北侖區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，D為弧AC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，連接AE，若AB＝4，則AE的最小值為_______ ．
【解析】連接OC、BC，P點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，作PH⊥AB于H，如圖，利用點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)得到OC⊥OB，則可判斷△BOC、△BPH為等腰直角三角形，再利用∠BEC＝90°判斷點(diǎn)E在⊙P上，連接AP交⊙P于E′，此時(shí)AE′的長(zhǎng)為AE的最小值，然后利用勾股定理計(jì)算出AP，計(jì)算AP﹣PE′即可得到AAE的最小值為√10-√2．
變式2．（2018秋·海曙區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4√2，C為弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦AP的中點(diǎn)D，則CD的最大值為 ______．
【解析】如圖，連接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，
∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，
當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD的值最大，
3．（2019·硚口區(qū)模擬）已知⊙O的直徑AB為4cm，點(diǎn)C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，則BE的最大值為______ ．
【解析】如圖，以OB為直徑作⊙K，當(dāng)直線AE切⊙K于D時(shí)，BE的值最大．
4．（2019·錫山區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BD于E，則線段CE的最小值是 ______．
【解析】如圖，連接AE，則∠AED＝∠BEA＝90°，
∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙Q上，
∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，當(dāng)點(diǎn)Q、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，QE+CE＝CQ（最短），
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理和勾股定理的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問題．
5．（2018秋·邗江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE＝3，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為 _______．
6．（2018秋·婺城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，4）、（3，﹣3）．已知點(diǎn)P是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上的一點(diǎn)，設(shè)△OPQ的面積為S，當(dāng)△OPQ為直角三角形時(shí)，S的取值范圍為_____．
總結(jié)提升
1．?dāng)?shù)學(xué)方法：構(gòu)造輔助圓
（可以利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，以斜邊為直徑，構(gòu)造輔助圓．
2.數(shù)學(xué)思想：（建模思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想）
利用構(gòu)造輔助圓解決分類討論問題，可以很快找到符合條件的點(diǎn)，并可以將問題轉(zhuǎn)化為圓中求線段、求角度的問題.
3. 深入挖掘題目中的隱含條件；善于聯(lián)想所學(xué)定理，巧妙地構(gòu)造符合題意特征的輔助圓，再利用圓的有關(guān)性質(zhì)來解決問題，往往能起到化隱為顯、化難為易的解題效果！
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