我們知道將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.平面幾何中的幾何變換主要有合同變換、相似變換、等積變換以及反演變換.在一個幾何變換下，如果任意兩點之間的距離等于變化后的兩點之間的距離，則稱之為合同變換.合同變換只改變圖形的相對位置，不改變其形狀和大小.合同變換有三種基本類型：平移變換，軸反射變換，旋轉(zhuǎn)變換。
而對于某些平面幾何問題，由于圖形中的幾何性質(zhì)比較隱晦，條件分散，題設(shè)與結(jié)論間的某些元素的相互關(guān)系在所給的圖形中不易發(fā)現(xiàn)，使之難以思考而感到束手無策.如果我們能對圖形作各種恰當?shù)淖儞Q，把原圖形或原圖形中的一部分從原來的位置變換到另一個位置，或作某種變化，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn)，分散的條件得到匯聚，就能使題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，相互間的關(guān)系變得清楚明了，從而能將求解問題靈活轉(zhuǎn)化，變難為易.我們把這種恰當?shù)剡M行圖形變換來求解平面幾何問題的方法稱為幾何變換法.下面主要針對平移法求解兩類幾何最值問題，通過例題分析談一下看法。
我們先看一下利用這一方法起源吧，它源于于經(jīng)典幾何最值模型---將軍飲馬問題的變換形式。
將軍飲馬模型：早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．
將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它．而從此以后，這個被稱為'將軍飲馬'的問題便流傳至今．
我們把俯視圖視角的問題抽象化，數(shù)學化，將河流看作一條直線l，軍營看作一個點，轉(zhuǎn)化為一個路程之和的最短問題．即如下圖：直線同側(cè)有兩點A，B，在直線上選取一點C，使得AC＋BC最短．
在思考這個問題之前，我們先來回憶下初一上學期中，涉及線段最短的兩個重要結(jié)論：兩點之間，線段最短．垂線段最短．請各位同學務(wù)必記住，初中階段的幾何最值問題，最后幾乎都可以轉(zhuǎn)化為通過這兩個結(jié)論來求得．
下面我們通過對將軍飲馬模型兩個變形應(yīng)用，就可體會到平移思想帶來解題魅力.【變式1】若將軍從軍營A出發(fā)去河邊飲馬，之后牽馬在河岸散步200米，再騎回軍營B，問從河邊何處開始散步，可使整個行程最短？
我們繼續(xù)把這個問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題，把軍營A與軍營B看作2個定點，把河看作一條直線．問題即轉(zhuǎn)化為，如下圖：在直線l上找兩個點C，D，使得AC＋BD最短．
本題若作點A關(guān)于l的對稱點A'，連接A'C和BD，會出現(xiàn)兩線段不共線的問題，怎么辦？我們能不能把BD進行相應(yīng)的平移，使得與A'C共線？完全可以，把BD沿著DC方向向左平移200米，問題即迎刃而解．
或者我們可以這么想象，把河邊散步的200米，挪至回到軍營B前，沿著與河平行的方向向右散步200米，問題也可解決．
如圖，作點A關(guān)于l的對稱點A'，將點B向左平移CD的長度到點B'(實際為200米)，連接A' B'，交直線l于點C，將點C向右平移CD的長度到點D，點C，點D即為所求．
【變式2】將軍每日需騎馬從軍營出發(fā)，去河岸對側(cè)的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？圖中灰紫色部分即為長30米的浮橋．
我們還是把這個問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題，把軍營與瞭望臺看作間隔30米的2條直線外側(cè)的定點．問題即轉(zhuǎn)化為，如下圖：在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得AC＋BD＋CD最短．
由于CD長度確定，則題目轉(zhuǎn)化為求AC＋BD最短，考慮在河的兩側(cè)，要使線段之和最短，則2條線段在同一直線上時即可．但這里并不共線，因此繼續(xù)考慮平移．
我們可以想成從軍營出發(fā)先'渡河'，即沿CD方向行30米至點A'，再考慮'兩點之間，線段最短'．
如圖，將點A沿CD方向，平移CD長度(實際30米)至點A'，連接A'B，交l2于點D，過點作DC⊥l2于點C，連接AC．則橋CD即為所求．
此時AC＝ A'D，而A'D＋DB＝A'B，最短.
我們初步可以體會到這兩個變式問題都涉沿河邊散步的問題，有造橋選址問題的求解，共同之處但無外乎涉及到一個'平移'的思想方法，結(jié)合'兩點之間，線段最短'解決，另外，有時還需考慮'垂線段最短',下面我們深入探究平移思想在將軍飲馬模型問題應(yīng)用吧,我們更能體會到平移帶來轉(zhuǎn)化能力的威力。
類型1 一動兩定型
1．如圖，已知P（3，2），B（﹣2，0），點Q從P點出發(fā)，先移動到y(tǒng)軸上的點M處，再沿垂直于y軸的方向向左移動1個單位至點N處，最后移動到點B處停止，當點Q移動的路徑最短時（即三條線段PM、MN、NB長度之和最?。cM的坐標為（ ）
變式1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣2，0），B（0，1），C（0，4），將線段AB向右平移，則在平移過程中，AC+BC的最小值是 ______．
2．已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為（ ）
A．2√13B．1+3√5C．3+√37D．√85
【解答】本題考查了軸對稱，最短路徑問題，要利用'兩點之間線段最短'，但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化．
如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．
變式3，點B到直線b的距離為2，AB＝3√11．試在直線a上找一點M，在直線b上找一點N，滿足MN⊥a，當AM+MN+NB的值最小時，則AM+NB＝______ ．
類型2 兩動兩定型
3.如圖，在矩形ABCD中，BC=3,AB=4,點E為邊AB的中點，若點M,N為邊BC上的兩動點，MN=2,求四邊形DEMN周長的最小值.
變式4．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點B在原點，點A、C在坐標軸上，點D的坐標為（6，4），E為CD的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ＝2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐標應(yīng)為（ ）
變式5．如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB＝9，AD＝18，M，N是直線BC上的動點，且MN＝3，則OM+ON最小值＝______ ．
【解析】如圖所示，作點O關(guān)于BC的對稱點P，連接PM，將MP沿著MN的方向平移MN長的距離，得到NQ，連接PQ，則四邊形MNQP是平行四邊形，∴MN＝PQ＝3，PM＝NQ＝MO，∴OM+ON＝QN+ON，
當O，N，Q在同一直線上時，OM+ON的最小值等于OQ長，
連接PO，交BC于E，由軸對稱的性質(zhì)，可得BC垂直平分OP，
又∵矩形ABCD中，OB＝OC，∴E是BC的中點，∴OE是△ABC的中位線，
∴OE＝1/2AB＝4.5，∴OP＝2×4.5＝9，
又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP，∴Rt△OPQ中，由勾股定理可求得OQ＝3√10，
∴OM+ON的最小值是3√10，故答案為：3√10．
變式6．正方形ABCD，AB＝4，E是CD中點，BF＝3CF，點M，N為線段BD上的動點，MN＝√2，求四邊形EMNF周長的最小值 ______．
【解析】：作點E關(guān)于BD的對稱點G，則點G在AD上，連接GM，過G作BD的平行線，截取GH＝MN＝√2，連接HN，則四邊形GHNM是平行四邊形，∴HN＝GM＝EM，過H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，則∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，
最后如用口訣來濃縮總結(jié)這類問題求解策略，那就是：造橋散步怎么辦，想到平移就不難。若問萬般適用法，兩點線段垂最短.
