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典型例題

例：在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求證：EF=AE+CF.

分析：

根據(jù)正方形的性質(zhì)得 DA=DC,∠A=∠ADC=90°，

則可把Rt△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCG

如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

AE=CG,DE=DG, ∠EDG=90°，∠DCG=∠A =90°,

則可判斷點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，所以FG=FC+CG,

然后證明△DFE≌△DFG，得到EF=FG,易得EF=FC+AE.

證明：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴DA=DC, ∠A=∠ADC=90°，

把Rt△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DCG，如圖，

∴AE=CG,DE=DG, ∠EDG=90°，∠DCG=∠A =90°,而∠DCF=90°,

∴點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，

∴FG=FC+CG,

∵∠EDF=45°，

∴∠FDG=∠EDG-∠EDF=45°,

在△DFE和△DFG中，

∴EF=FG,

∴EF=FC+CG=FC+AE.

總結(jié)：

在正方形中，在內(nèi)角頂點(diǎn)處出現(xiàn)45°角時(shí)，結(jié)合內(nèi)角是90°，出現(xiàn)45°是90°的半角，一般利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，把分散的兩角和是45°轉(zhuǎn)移成一個(gè)角等于45°，進(jìn)而形成全等三角形進(jìn)行應(yīng)用！

例題：

解答：

過點(diǎn)B作BM∥EF，BN∥GH,連接MN，

由于AD∥BC,AB∥CD,得四邊形BFEM、 四邊形BNHG都是平行四邊形，

∴BM=EF,BN=GH,

把Rt△BAM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△BCP，

易證 Rt△BAM ≌Rt△BCP，根據(jù)勾股定理，

易得AM=1,PN=MN=NC+CP=AM+CP=1+ CP,又

練習(xí)：

1.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，△ECF的周長(zhǎng)為4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為______.

2. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，AG⊥EF,∠EAF=45°，求證：AG=AD.

3.如圖，直線l經(jīng)過正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P,并交邊BC、DA于E、F兩點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)P按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l＇，并交邊AB、CD于G、H兩點(diǎn).若AB=4,

則EF的值為________.

解析與答案：

1.分析：把△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP，再利用旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)可得△AEF≌△AEP,則EF=EP=DF+BE,則C△ECF=2BC=4，則BC=2.

答案：2

1.證明：把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM.

∴∠MAD=∠EAB,AB=AM,

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD,∠B=∠ADF=∠ADM=∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°,

∴ ∠MAF=45°，

1.分析：作AK∥EF，AM∥GH,連接KM，