作有關(guān)角平分線的輔助線，常見的有四種方法：
① 如下圖，由角的平分線上的一點向角的一邊或兩邊作垂線，可以用角的平分線性質(zhì)定理解題；（可向兩邊作垂線）
圖1
② 如下圖，以角的平分線為軸，將圖形翻折，在角的平分線兩側(cè)構(gòu)造全等三角形，使已知與結(jié)論發(fā)生關(guān)系出現(xiàn)新的條件；（也可說為在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形）
圖2
③ 如下圖，當(dāng)題設(shè)有角平分線及與角平分線垂直的線段，可延長這條線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形，利用等腰三角形的“三線合一” 性質(zhì)證題；（也可說為“角平分線加垂直”可延長構(gòu)造等腰三角形）
圖3
④如下圖，過角的一邊上的點，作另一邊的平行線，構(gòu)成等腰三角形——“角平分線+平行，必出等腰 ”.（可作平行線，構(gòu)造等腰三角形）
圖4
方法一練習(xí)
1. 如圖,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°，BD平分∠ABC，求證：AB=BC+CD.
題目圖
答案圖
解答：
證明：過點D作DE⊥AB于點E，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠DBE，CD=DE，
在△BCD與△BED中，
∠DBC=∠DBA
∠C=∠BED=90°
BD=BD，
∴△BCD≌△BED(AAS)，
∴BC=BE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=CD，
∴AB=BE+AE=BC+CD.
2．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA、OB交于C. D，PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由。
題目圖
答案圖
解答：
答：PC=PD.
證明：過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分線，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°,∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中，
∠CFP=∠DEP
PE=PF
∠1=∠2 ，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，
∴PC=PD.
3. 如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,過C作CE⊥AB于E,并且AE=0.5(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC的度數(shù)。
題目圖
答案圖
解答：
過C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEA=90°，
∴△AFC≌△AEC(AAS)，
∴AF=AE，CF=CE，
∵AE=0.5(AB+AD)，
∴2AE=AB+AD，
又∵AD=AF?DF，AB=AE+BE，AF=AE，
∴2AE=AE+BE+AE?DF，
∴BE=DF，
∵∠DFC=∠CEB=90°，CF=CE，
∴△CDF≌△CEB(SAS)，
∴∠ABC=∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
4.如圖，在正方形ABCD中，已知E為CD的中點，F(xiàn)為BC上的點，∠ FAE=∠DAE,求證：AF=AD+CF
題目圖
答案圖
答案01
答案02
5. 如圖,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求證：∠A+∠C=180°.
題目圖
答案圖
解答：
過D作出DE⊥BA，DF⊥BC，
∵BD平分∠ABC,DE⊥BA,DF⊥BC,
∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△DEA和Rt△DFC中
AD=CD
DE=DF，
∴Rt△DEA≌Rt△DFC(HL)，
∴∠C=∠EAD，
∵∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠BAD+∠C=180°.
練習(xí)：如圖，AB=2AC，∠1=∠2、DA=DB，求證：DC⊥AC.
題目圖
你有幾種方法
方法二練習(xí)
1. 如圖,AB∥CD，BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，點E在AD上。
求證：BC=AB+CD.
題目圖
答案圖
解答：
證明：在BC上取點F，使BF=BA，連接EF，
∵BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
在△ABE和△FBE中，
AB=FB
∠1=∠2
BE=BE,
∴△ABE≌△FBE(SAS)，
∴∠A=∠5.
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠5+∠D=180.
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D.
在△CDE和△CFE中，
∠6=∠D
∠3=∠4
CE=CE，
∴△CDE≌△CFE(AAS)，
∴CF=CD.
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD.
2. 如圖,在△ABC中,∠ABC=60°，AD，CE分別平分∠BAC、∠ACB.
(1)求∠AOC的度數(shù)；
(2)求證：AC=AE+CD.
題目圖
答案01
答案02
答案03
3. 如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，P是AD上的任意一點，且AB>AC，求證：AB?AC>PB?PC.
4. 已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°CD⊥AB,垂足為D,AE平分∠CAB交CD于F，過F作FH∥AB,交BC于H,求證CF=BH
題目圖
答案
練習(xí)：已知CE,AD是△ABC的角平分線,∠B=60°,求證：AC=AE+CD
方法三練習(xí)
1. 如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延長于E. 求證：BD=2CE.
題目圖
答案
2. 如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，G為BC的中點，
求證：①DG∥AB;②DG=0.5(AB?AC).
題目圖
答案
3. 如圖，AD，AE是△ABC的∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過B作AD的垂線交AD的延長線于F，連FC并延長交AE于M，求證：AM=ME.
（本題較難）
題目圖
答案
練習(xí)：已知：在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中點,AE是∠BAC的平分線,且CE⊥AE于E,連結(jié)DE,求DE.
方法四用的較少，接下來看有角平分線作其他的輔助線的題
1. 在△ABC中，AD平分∠BAC，且AB=AD，過點C作CM⊥AD交AD延長線于M.
(1)若AC=BC，求∠B的度數(shù)并探究AB+AC與AM的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(2)若AC≠BC,則(1)中AB+AC與AM的數(shù)量關(guān)系還會成立嗎?請說明理由。
題目圖
答案01
答案03
2.如圖，∠C=2∠A,AC=2BC,求證△ABC是直角三角形
題目圖
提示：作∠C的角平分線交AB于點D,再過D點作DE垂直于AC,垂足為E點
