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四公理、三推論
幾何學(xué)是一座美麗的城市，要方便地游覽城市的各個景點，就需要好的市內(nèi)交通系統(tǒng)、交通工具．這交通系統(tǒng)和交通工具，也就是幾何學(xué)的展開結(jié)構(gòu)和解題方法．但要從外部到達這個城市，則往往要經(jīng)由城市的大門、車站、機場．幾何學(xué)的公理系統(tǒng)，好比是城市的大門、機場、車站．
——《幾何新方法和新體系》（張景中，科學(xué)出版社，2009）
本文轉(zhuǎn)載自：解憂數(shù)學(xué)雜貨店
接下來我們就從如下幾個公理開始進入幾何學(xué)這座美麗的城市．
公理是指經(jīng)過人類長期反復(fù)的實踐檢驗，不需要加以證明的基本事實；現(xiàn)代數(shù)學(xué)認為公理是對研究對象的性質(zhì)的基本約定.
公理1
平面是立體幾何的基本要素之一，具有平整、光滑、無限延展等特性
公理2
公理2有三個“著名”的推論，它們提供了確定平面的其他方式和依據(jù)．
推論是指簡單明了地從一個或一些已知命題推出的新論斷
推論1
推論2
推論3
注：以上證明開門見山地默認了兩條平行直線是共面的，這是什么道理呢？下一節(jié)中，我們會講空間中直線與直線的位置關(guān)系有且只有三種：（1）平行；（2）相交；（3）異面．其中，（1）（2）皆為共面直線，與（3）對立．如果有人問：為什么只有這三種呀？還有沒有其他的？你說只有這三種，能不能證明給我看？這樣的問題筆者無法回答，或許會有其他的位置關(guān)系，但顯然已超出高中的討論范圍．筆者認為，空間中的位置關(guān)系是人們根據(jù)常識總結(jié)歸納并按邏輯原理劃分出來的，無需證明．
實際教學(xué)中，有些老師沒有注意平行直線一定共面這一基本事實或想方設(shè)法地要繞過它——在直線a，b上分別取點A，B和C，D，然后根據(jù)公理2和推論1、2去論證直線a，b共面．這樣的想法會遇到較大困難，最終或許會歸結(jié)為歐幾里得的第五公設(shè)，而無法給出一個簡潔嚴謹?shù)淖C明．
公理3
兩平面相交，會產(chǎn)生一條交線，如何確定兩個平面的交線呢？這可不是一件容易的事情．下面的三個問題皆與交線相關(guān)，涉及立體幾何中的作圖問題．“作圖”其實也是學(xué)習幾何的基本功，但在應(yīng)試教育思想的影響下早已被“打入冷宮”了．
注：尋找兩平面交線的過程實際是一個“擴展”平面的過程，運用了平面無限延展的特性．題目中的平面MNP“過小”，我們通過延長它的“邊界線”來“擴大”它，使其與其他平面的交線一一展現(xiàn)出來．下圖更加完美對稱地呈現(xiàn)出平面MNP與正方體各個表面的交線，交由讀者仔細觀察、思考、證明、欣賞．
思考：用一個平面去截正方體，截面多邊形可以是什么形狀呢？請分別畫圖示意．
公理4
注：有老師在講解此題時還喜歡追問“若AC⊥BD，則四邊形ABCD是什么圖形？”，其實不太恰當．因為按照邏輯順序，現(xiàn)在還沒講“空間中兩直線的位置關(guān)系”，學(xué)生也就不知道什么是“異面直線”，更不知道“兩條異面直線垂直”是怎么回事，而AC⊥BD則恰恰是“異面垂直”．有老師不管這些，生硬追問，把“異面垂直”這種感覺（概念）強壓給學(xué)生，效果不好．其實，后續(xù)追問的問題并不難，課堂上可不提及，等學(xué)過相關(guān)概念后學(xué)生就可自主處理，相信學(xué)生．
