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一、再談手拉手模型

例1：

如圖，△ABD、△CDE是兩個等邊三角形，連接BC、BE．若∠DBC＝30°，BD＝2，BC＝3，則BE2＝_____．

分析：

本題中，要求BE的平方，想到放在直角三角形中，而這里有兩個等邊三角形共頂點D，想到可以直接構(gòu)造手拉手模型，連接AC即可．

解答：

例2：

如圖，已知點P是等邊△ABC的內(nèi)部一點，要使∠BPC＝150°，∠APC＝120°，則線段PA、PC必須滿足的數(shù)量關(guān)系是________．

分析：

這是一個經(jīng)典的模型，AB＝AC，滿足等線段，共頂點，則可以通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手模型．將PA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°到EA，連接BE，PE，從而將PA，PC的位置進行轉(zhuǎn)化，求出數(shù)量關(guān)系．

解答：

例3：

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是_______．

分析：

本題與例2異曲同工，BQ＝BP，滿足等線段，共頂點，一般想旋轉(zhuǎn)．可將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°到BD，由于∠ACB＝90°，∠A＝30°，得∠CBA＝60°，D在BA上，且BC＝BD＝AD，即D是BA中點．

解答：

二、斜邊中線類最值

例1：

如圖，∠MON＝90°，長方形ABCD的頂點B、C分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊OM上運動時，C隨之在邊ON上運動，若CD＝5，BC＝24，運動過程中，點D到點O的最大距離為_________．

分析：

在我們目前接觸過的最值中，基本都是“兩點之間，線段最短”，且多為一條線段與兩條定長的折線段長度之和去比較，因此，這里要想到構(gòu)造兩條定長的折線段，考慮到△OBC是直角三角形，想到是取BC的中點E，連接OE、DE、OD，OE是BC的一半，DE也可求，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知，當(dāng)O、D、E三點共線時，點O到點D的距離最大．

解答：

例2：

如圖，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝25，AB＝14，△ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，△ABC的形狀始終保持不變，在運動的過程中，點C到點O的最小距離為________．

分析：

本題與例1類似，也需要構(gòu)造兩條定長線段，由于△ABC形狀確定，是等腰三角形，△AOB形狀也確定，是直角三角形，且兩三角形的斜邊和底邊是公共邊，則想到取AB的中點，連接CD，OD，利用線段和差來解決．

解答：

三、感受“對角互補”模型

例1：

如圖，已知點C是∠AOB平分線上的點，點P、P分別在OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下條件中的某一個即可：①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC．請你寫出所有可能的結(jié)果的序號：_______．

分析：

①OCP＝∠OCP′，符合ASA，可得△OPC≌△OP′C，從而得到OP＝OP′；

②∠OPC＝∠OP′C；符合AAS，可得△OPC≌△OP′C，從而得到OP＝OP′；

④PP′⊥OC，符合ASA，可得△OPC≌△OP′C，從而得到OP＝OP′；

③中給的條件是SSA，全等三角形判定中沒有這個定理．

解答：

①②④

上圖是③的反例，顯然△OPC和△OP′C不全等．

但在這個圖形中，我們可以繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)∠OPC＋∠OP′C＝180°，這是四邊形OPCP′中相對的兩個角，即所謂“對角互補”模型，具體證明我們可以看下一例題，更多內(nèi)容，請點擊公眾號9.27文章《【八上必讀】“邊邊角”真的不能證全等嗎？》．

例2：

如圖，已知點D為OB上的一點，請用直尺和圓規(guī)按下列要求進行作圖，保留作圖痕跡．

(1)作∠AOB的平分線OC；

(2)在OC上取一點P，使得OP＝a；

(3)愛動腦筋的小剛經(jīng)過仔細觀察后，進行如下操作：在邊OA上取一點E，使得PE＝PD，這時他發(fā)現(xiàn)∠OEP與∠ODP之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出∠OEP與∠ODP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

分析：

前兩問非?；A(chǔ)，重點在第(3)問，不難發(fā)現(xiàn)，PE＝PD這個條件，實質(zhì)上與上例中的條件③PC＝P′C是完全類似的，因此探究這兩個角的關(guān)系之前，需要精確作圖，利用圓規(guī)截取相等時，應(yīng)該以P為圓心，PD長為半徑，在OA邊畫弧，不難發(fā)現(xiàn)有兩個交點，E1，E2．

解答：

作圖如下：

證明如下：

四、等腰三角形分類討論

例1：

如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5．動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)點P到達點C時停止運動，點Q也同時停止．連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t(t＞0)秒．

(1)記△CBQ的面積為S，請用含有t的代數(shù)式來表示S；

(2)伴隨著P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為直線l．

①當(dāng)直線l經(jīng)過點A時，求AQ的長；

②直接寫出這樣t的值，使得直線l經(jīng)過點B．

分析：

這是一個雙動點問題，我們要分類討論點P，點Q在不同邊上的運動情況，

點P情況較簡單，

從A到C，共用時5秒，則AP＝t，0≤t≤5，

點Q稍微復(fù)雜，

從B到A，共用時3秒，則BQ＝t，AQ＝3－t，0≤t≤3，

從A回B，共用時3秒，則AQ＝t－3，BQ＝3－(t－3)＝6－t，3＜t≤6，

綜上，時間應(yīng)分兩段，0≤t≤3，3＜t≤5．