在幾何題或代數(shù)幾何綜合題的解題或證明過程中,
經(jīng)常會使用幾何變換的觀點來解決問題.
從圖形的特點出發(fā),利用幾何變換,
可將圖形的全部或一部分移動到一個新的位置,
構(gòu)成一個新的關(guān)系,從而使問題獲得解決.
這種幾何變換不改變被移動部分圖形的形狀和大小,而只是它的位置發(fā)生了變化,
這種移動有利于找出圖形之間的關(guān)系,從而使解題更為簡捷.
同時將圖形從相對靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來,
有利于對圖形本質(zhì)的認(rèn)識.
初中常見的幾何變換是:平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換.
它們的理論依據(jù)是三種變換的定義及性質(zhì),具體如下:
(一)平移變換
1.定義:將圖形F上的所有點都按照一定的方向移動一定的距離形成圖形F',則由F 到F'的變換叫作平移變換.
2.平移不改變圖形的大小和形狀.
特點:(1)平移前后線段長度不變;
(2)平移前后角的大小不變;
(3)平移前后的對應(yīng)線段保持平行或在同一直線上.
3.在解決幾何問題時,為了尋求解題途徑,可以把題目中的某些線段平移到某一適當(dāng)位
置,作出輔助圖形,使問題得到解決.作平行線是平移變換的一種常見形式.
(二)軸對稱變換
1.定義:
把圖形G沿著直線l折過來,如果和圖形G'重合,那么我們稱這兩個圖形關(guān)于直線l“對稱”.兩個對稱圖形中的對應(yīng)點叫作關(guān)于直線l的對稱點,直線l叫作對稱軸.
軸對稱圖形有以下兩個性質(zhì):
(1)對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分;
(2)對稱軸上任一點到兩對應(yīng)點的距離相等.
運用對稱思想解幾何問題的基本做法是把圖形的全部或一部分做軸對稱變換.
2.常根據(jù)下面的一些特殊情況做軸對稱變換:
(1)與線段中點有關(guān)的問題,常取該線段的垂直平分線為對稱軸做變換;
(2)與角平分線有關(guān)的問題,常取角平分線所在的直線為對稱軸做變換;
(3)與等腰三角形有關(guān)的問題,常取底邊的中垂線為對稱軸做變換;
(4)與正三角形或正方形有關(guān)的問題,常利用正三角形或正方形的特性做軸對稱變換,等.
(三)旋轉(zhuǎn)變換
1.定義:將圖形G繞平面上的一個定點O 旋轉(zhuǎn)一個角度θ,得到圖形G',這樣由G 到G'的變換叫作旋轉(zhuǎn)變換,點O叫作旋轉(zhuǎn)中心,θ叫作旋轉(zhuǎn)角.
2.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀.特點:
(1)旋轉(zhuǎn)前后線段長度不變;
(2)旋轉(zhuǎn)前后角的大小不變;
(3)旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.
3.在使用旋轉(zhuǎn)變換解題時需具備圖形旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ),即存在相等的線段,這種方法一
般常用于等腰三角形、正方形圖形中.幾何變換法是數(shù)學(xué)中一種重要的方法.它的應(yīng)用十分廣泛,在解決幾何問題時,平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是全等變換,它起到了將線段、角轉(zhuǎn)移的作用,將分散的條件集中起來,從而達(dá)到完美的解題效果.
應(yīng)用分類：
（1）軸對稱變換在解題中的應(yīng)用
（2）平移變換在解題中的應(yīng)用
（3）旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應(yīng)用
（1）軸對稱變換在解題中的應(yīng)用
【典型例題】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OACB的頂點O 在坐標(biāo)原點,頂點A,B分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3,OB=4,D 為邊OB 的中點.若E,F為邊OA 上的兩個動點,且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF 的周長最小時,求點E,F的坐標(biāo).
【思路分析】由于CD 和EF 是兩定長線段,因此,四邊形CDEF 的周長最小值其實就是DE+CF的最小值.動點E在F 左側(cè),且EF=2(定值),點E 確定點F 隨之確定,反之亦然.通過平移點F讓F,E重合,可將“雙動點”轉(zhuǎn)化成“單動點”,點C隨之向右平移長度2,這就轉(zhuǎn)化成了最基本的“將軍飲馬”模型.
【答案解析】
（2）平移變換在解題中的應(yīng)用
【典型例題】如圖,在△ABC中,∠B=90°,M 為AB上一點,使得AM=BC,N為BC上一點,使得CN=BM,連接AN,CM 交于點P,求∠APM 的度數(shù).
【思路分析】本題要求∠APM,通過猜測∠APM=45°,可聯(lián)想到將其置于直角三角形中,于是將∠APM 的頂點向邊上或者頂點處轉(zhuǎn)移,考慮平移AN 或MC,由平行線的移角功能可以實現(xiàn).連接KM,出現(xiàn)了直角三角形KMC.本題解法不唯一,將頂點轉(zhuǎn)移到點A,C,M 處均可得證.
【答案解析】
（3）旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應(yīng)用
【典型例題】如圖,以△ABC的AB,AC邊為邊向形外作正方形ABDE與正方形CAFG,連接EF,過A作BC的垂線,分別交EF,BC于M,H.求證:EM=FM.
【思路分析】本題要證EM=FM,只需使MA 成為某個三角形的中位線即可,于是考慮構(gòu)造
這個三角形,構(gòu)造后發(fā)現(xiàn),由于AB,AC向外作正方形,由 “等線段、共頂點”,其實構(gòu)造的部分就是將△ABC繞點A 順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的.
【答案解析】
