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【中考真題】

利用旋轉(zhuǎn)，可以得到△CDM為等腰直角三角形得CM為CD的根號(hào)2倍。再利用已知條件可以得到△BCM為直角三角形，也就是說(shuō)∠BCD=45°，那么因?yàn)椤螪AB=45°就可以得到結(jié)論了。

此類(lèi)問(wèn)題比較常見(jiàn)，需要對(duì)比總結(jié)。本質(zhì)方法都是利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

題（3）的難度略大。求AE與BE的比值，優(yōu)先考慮利用相似進(jìn)行轉(zhuǎn)化。由于根據(jù)條件得到∠ADC+∠AEC=180°，可以得到它們四點(diǎn)共圓。

進(jìn)而得到∠BDC=∠CAE，那么就可以得到∠ADB=∠BAE，可以得到一組相似三角形，也就是△BAE∽△BDA，把AE與BE的比值，轉(zhuǎn)化為BA與AD的比值。也就是說(shuō)只要求出AD的長(zhǎng)度即可。設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后再利用（2）的條件（2CD+CB＝CA2可以轉(zhuǎn)化為本題的結(jié)論）建立等量關(guān)系，進(jìn)而表示出AD的長(zhǎng)度即可。

【答案】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于F．

∵AC＝AB，
∴BE＝CE＝3，
在Rt△AEB中，
AE4，
∵CF⊥AD，
∴∠D+∠FCD＝90°，
∵∠B+∠D＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴△AEB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF，
∴sin∠CAD．

（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形ABCD是對(duì)余四邊形．

理由如下：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥DC，使得DM＝DC，連接CM．
∵四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°，
∵∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠CDM＝∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝∠BDM，
∵AD＝DB，CD＝DM，
∴△ADC≌△BDM（SAS），
∴AC＝BM，
∵2CD+CB＝CA，CM＝DM+CD＝2CD，
∴CM+CB＝BM，
∴∠BCM＝90°，
∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，
∴四邊形ABCD是對(duì)余四邊形．

（3）如圖③中，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，

∴AC+BC2＝AB，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，
∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，
∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，
∴∠ACE＝∠ADE，
∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，
∴∠EAB＝∠ACE，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴u，
設(shè)D（x，t），
由（2）可知，BD＝2CD+AD，
∴（x﹣3）+t＝2[（x﹣1）+（t﹣2）]+（x+1）+t，
整理得（x+1）＝4t﹣t，
在Rt△ADH中，AD2，
∴u（0＜t＜4），
即u（0＜t＜4）．