其中幾何的難點之一是添加輔助線，輔助線的添加并非無規(guī)律可尋。今天周老師就以初二中常見的“半角模型”，教同學(xué)們?nèi)绾?strong>利用旋轉(zhuǎn)思想，更快速更準確地添加輔助線，從而解決問題。
模版
手拉手模型
那么“手拉手模型”如何用旋轉(zhuǎn)全等變換、轉(zhuǎn)換線段來理解呢？
例2：（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由.
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長.
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此題是我們經(jīng)常遇到的“手拉手模型”，第一問中兩個等腰三角形“大手拉小手”全等易證。而第二問我們需要去模仿，嘗試添加輔助線去構(gòu)造另一個等腰直角三角形從而產(chǎn)生“手拉手模型”。
那么我們?nèi)绾卫眯D(zhuǎn)思想分析第二問呢？
【分析】
求線段長度多用勾股定理，BD不在直角三角形中無法直接求出。結(jié)合“AC=AD”，所以旋轉(zhuǎn)含有線段BD的△ADB。
利用“AD=AC”，起始位置AD，目標位置AC，將△ADB繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°。故輔助線添加：作點B’使得AB’=AB且AB’⊥AB，易證△ABD≌△AB’C，得BD=B’C?！鰾’AB是等腰直角三角形求得BB’，最后證明△B’BC是直角三角形利用勾股定理求得線段長度。
答案：√107
練習(xí)3：如圖，△ABC是等邊三角形，三角形外有一點D，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則CD的長為______.
【分析】
求線段長度多用勾股定理，CD不在直角三角形中無法直接求出。故轉(zhuǎn)換CD位置，選擇旋轉(zhuǎn)含有線段CD的△ADC。
利用“AC=AB”此天然條件，起始位置AC，目標位置AB，將△ADC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)60°。故輔助線添加：作點D’使得AD’=AD且∠DAD’=60°，證明△ACD≌△ABD’，得CD=BD’。由于60°的等腰三角形是等邊三角形，得AD=DD’。三條線段AD、BD、CD轉(zhuǎn)化到△BDD’中，證明△BDD’是直角三角形利用勾股定理求出線段長度。
【思考】
①我們利用“AC=AB”這個“共頂點等線段”的突破口將△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)變化，那么同樣的，“AC=BC”，是否也可以利用這個“共頂點等線段”的條件將△ADC繞著點C旋轉(zhuǎn)呢？
②含有線段CD的還有△BDC，那么“BC=BA”，“BC=AC”，嘗試將△BDC分別繞著點B、點C旋轉(zhuǎn)，是否也是兩種不同的解法，同學(xué)們動手畫圖嘗試一下吧！
③更深入的思考，如果轉(zhuǎn)化AD、BD的位置，旋轉(zhuǎn)△BAD，“AB=AC”，“AB=CB”，這也是給旋轉(zhuǎn)提供了天然條件，此解法最后證明△CDD’為直角三角形，這里同學(xué)們需要去思考一下怎么證明哦。
綜合6種方法來看，最終我們都能成功轉(zhuǎn)化線段，并結(jié)合題意證明直角三角形求出線段長度。但是由于題目條件給了∠ADC=30°，并且目的是求CD，所以綜合條件與△ADC關(guān)系最為緊密，所以嘗試旋轉(zhuǎn)△ADC最具有目的性。
答案：4
練習(xí)4：如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF。
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，當點D在線段BC的延長線上時，說明BD與CF之間的關(guān)系。
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB滿足什么條件時，CF⊥BC（點C. F不重合），并說明理由。
【分析】
第一問是我們常見的“手拉手模型”，利用全等易證。第二問中，條件相對分散無法直接求出∠ACB，嘗試將∠ACB轉(zhuǎn)化，含有∠ACB的是△ACD，那么正方形中邊長“AD=AF”，此“共頂點，等線段”創(chuàng)造了旋轉(zhuǎn)的天然條件。
起始位置AD，目標位置AF，將△ACD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°。故輔助線添加：作點C’使得AC’=AC且AC’⊥AC，易證△ADC≌△AFC’，得∠ACD=∠AC’F。需要證明C’ 、F、C在同一直線上，那么△ACC’為等腰直角三角形，最后求出角度。
幾何是初中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，
一般會在壓軸題中進行考察，
如果掌握幾何模型及其構(gòu)造方法，
能為考試節(jié)省不少時間，
多拿更多分數(shù)，
你要好好學(xué)哦↓
幾何最值模型
對稱最值(兩點間線段最短)
對稱最值(點到直線垂線段最短)
說明：通過對稱進行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點間距離及點到直線距離。
旋轉(zhuǎn)最值(共線有最值)
說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。
剪拼模型
三角形→四邊形
四邊形→四邊形
說明：剪拼主要是通過中點的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。
矩形→正方形
說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變
正方形+等腰直角三角形→正方形
面積等分
旋轉(zhuǎn)相似模型
說明：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。
推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。
相似模型
說明：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。
說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。
（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進行代換，進行證明得到需要的結(jié)論。
