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2021河北26題

在一平面內(nèi)，線段AB＝20，線段BC＝CD＝DA＝10，將這四條線段順次首尾相接．把AB固定，讓AD繞點(diǎn)A從AB開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（α＞0°）到某一位置時(shí)，BC，CD將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．

論證：如圖1，當(dāng)AD∥BC時(shí)，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)O，求證：AO＝10；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝60°時(shí)，∠ADC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，求點(diǎn)M到AB的距離；

拓展：①如圖2，設(shè)點(diǎn)D與B的距離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點(diǎn)P，直接寫出BP的長(zhǎng)（用含d的式子表示）；

②當(dāng)點(diǎn)C在AB下方，且AD與CD垂直時(shí)，直接寫出α的余弦值．

試題分析

論證：證△AOD≌△BOC，可得AO＝BO，所以AO＝10；

發(fā)現(xiàn)：分兩種情況，①設(shè)AB的中點(diǎn)為O，當(dāng)AD從初始位置AO繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，BC也從初始位置BC'繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，BC旋轉(zhuǎn)到BO的位置，即C以O(shè)重合，從而可得∠ADC＝60°；②當(dāng)AD從AO繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CD從CD'的位置開(kāi)始也旋轉(zhuǎn)60°，故△ADO和△CDO都是等邊三角形，此時(shí)∠ADC＝120°；

嘗試：

本問(wèn)主要考察：勾股定理，A字型相似等內(nèi)容，重點(diǎn)添加輔助線；

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，D、C、B共線，過(guò)D作DQ⊥AB于Q，過(guò)M作MN⊥AB于N，由已知可得AD＝10，設(shè)AQ＝x，則BQ＝20﹣x，100﹣x²＝400﹣（20﹣x）²，可得AQ ，DQ ，再由MN∥DQ，得，MN ，即點(diǎn)M到AB的距離為；

拓展：

①本問(wèn)主要考察：勾股定理，相似等內(nèi)容，重點(diǎn)添加輔助線；

設(shè)直線CP交DB于H，過(guò)G作DG⊥AB于G，連接DP，設(shè)BG＝m，則AG＝20﹣m，由AD²﹣AG²＝BD²﹣BG²，可得m ，BG ，而△BHP∽△BGD，有，即可得BP ；

②本問(wèn)主要涉及：勾股定理，三角函數(shù)，設(shè)k法，特殊角，輔助線等

過(guò)C作CK⊥AB于K，過(guò)F作FH⊥AC于H，利用勾股定理建立方程求出 AK，進(jìn)一步求出CK，再借助tan∠KAC值，設(shè)FH k，則CH＝FH k，AH＝5k，由AC＝AH+CH＝10 ，可得5k k＝10 ，解得k ，從而AF ，再求cosα．

題目解析

論證：

證明：∵AD∥BC，

∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，

在△AOD和△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC（ASA），

∴AO＝BO，

∵AO+BO＝AB＝20，

∴AO＝10；

發(fā)現(xiàn)：①設(shè)AB的中點(diǎn)為O，如圖：

當(dāng)AD從初始位置AO繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，BC也從初始位置BC'繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，

而B(niǎo)O＝BC'＝10，

∴△BC'O是等邊三角形，

∴BC旋轉(zhuǎn)到BO的位置，即C以O(shè)重合，

∵AO＝AD＝CD＝10，

∴△ADC是等邊三角形，

∴此時(shí)∠ADC＝60°；

②如圖：

當(dāng)AD從AO繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CD從CD'的位置開(kāi)始也旋轉(zhuǎn)60°，故△ADO和△CDO都是等邊三角形，

∴此時(shí)∠ADC＝120°，

綜上所述，∠ADC為60°或120°；

嘗試：取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，D、C、B共線，過(guò)D作DQ⊥AB于Q，過(guò)M作MN⊥AB于N，如圖：

由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，

設(shè)AQ＝x，則BQ＝20﹣x，

∵AD²﹣AQ²＝DQ²＝BD²﹣BQ²，

∴100﹣x²＝400﹣（20﹣x）²，

解得x ，

∴AQ ，

∴DQ ，

∵DQ⊥AB，MN⊥AB，

∴MN∥DQ，

∴ ，即，

∴MN ，

∴點(diǎn)M到AB的距離為；

拓展：

①設(shè)直線CP交DB于H，過(guò)D作DG⊥AB于G，連接DP，如圖：

∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，

∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH BD d，

設(shè)BG＝m，則AG＝20﹣m，

∵AD²﹣AG²＝BD²﹣BG²，

∴100﹣（20﹣m）²＝d²﹣m²，

∴m ，

∴BG ，

∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，

∴△BHP∽△BGD，

∴ ，

∴BP ；

②過(guò)C作CK⊥AB于K，過(guò)F作FH⊥AC于H，如圖：

∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，

∴AC²＝200，

∵AC²﹣AK²＝BC²﹣BK²，

∴200﹣AK²＝100﹣（20﹣AK）²，

解得AK ，

∴CK ，

Rt△ACK中，tan∠KAC ，

Rt△AFH中，tan∠KAC ，

設(shè)FH k，則CH＝FH k，AH＝5k，

∵AC＝AH+CH＝10 ，

∴5k k＝10 ，

解得k ，

∴AF ，

Rt△ADF中，

cosα ．

解后反思

1．本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，題目綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是用添加輔助線，幾問(wèn)輔助線類似，通過(guò)做高構(gòu)造背靠背型雙直角三角形處理．

2．求線段長(zhǎng)的問(wèn)題解題策略：主要利用勾股定理，相似，三角函數(shù)求解，往往需要構(gòu)造直角或相似.

（1）若涉及中點(diǎn)，常利用等腰三角形三線合一、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、中位線、倍長(zhǎng)中線處理；

（2）用勾股定理求解：（注意列方程）

多用于折疊的圖形中（15題）或直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，或是圓中與弦有關(guān)的線段的長(zhǎng)度求解；

（3）用相似三角形求解：

多用于旋轉(zhuǎn)變換的圖形中，以及圓中存在相似三角形的圖形中，有些三等角的圖形中也常用相似來(lái)求線段的長(zhǎng)度；

（4）面積法求解：用于求與高有關(guān)的圖形中線段的長(zhǎng)度，如直角三角形斜邊上的高，三角形的內(nèi)心到三邊的距離等圖形中；

（5）三角函數(shù)法求解：涉及角的度數(shù)或角的大小固定可利用三角函數(shù)求解.

（6）常見(jiàn)圖形結(jié)構(gòu)：直角+中點(diǎn)，平行+角平分線等；

（7）遇比例的條件，常設(shè)k法處理；

（8）注意利用方程思想列出方程解題：

設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),其余的線段全部用所設(shè)的未知數(shù)表示出來(lái)，往往向直角三角形中集中，考慮用勾股定理，或相似由比例式列出方程進(jìn)一步求解.

（9）注意挖掘復(fù)雜題目中隱含條件，尤其挖掘特殊角、相似、全等，有時(shí)挖掘特殊角是解題關(guān)鍵.

（10）坐標(biāo)系中的距離：

已知A 、B ，則距離公式：AB ；

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