是近代發(fā)展起來的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱起源于希臘語(yǔ)Τοπολογ?α的音譯。Topology原意為地貌,于19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入,當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題。發(fā)展至今,拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)和不變量。
舉例來說,在通常的平面幾何里,把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上,如果完全重合,那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是,在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形,在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒有不能彎曲的元素,每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如,前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時(shí)候,他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀,僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點(diǎn)。
簡(jiǎn)單地說,拓?fù)渚褪茄芯坑行蔚奈矬w在連續(xù)變換下,怎樣還能保持性質(zhì)不變。
拓?fù)湫再|(zhì)
拓?fù)湫再|(zhì)有那些呢?首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià),這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。
在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念,但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如,盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同,在拓?fù)渥儞Q下,它們都是等價(jià)圖形。換句話講,就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看,它們是完全一樣的。
在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來,這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓?fù)渥儞Q下,點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣,這就是拓?fù)涞葍r(jià)。一般地說,對(duì)于任意形狀的閉曲面,只要不把曲面撕裂或割破,他的變換就是拓?fù)渥兓茫痛嬖谕負(fù)涞葍r(jià)。
應(yīng)該指出,環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì)。比如像左圖那樣,把環(huán)面切開,它不至于分成許多塊,只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形,對(duì)于這種情況,我們就說球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。
直線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系,在拓?fù)渥儞Q下不變,這是拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。
我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面,就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(1790~1868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個(gè)側(cè)面。
拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多,這里不在介紹。
拓?fù)浒l(fā)展
拓?fù)鋵W(xué)建立后,由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要,它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后,他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ),更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。
二十世紀(jì)以來,集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué),為拓?fù)鋵W(xué)開拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問題都可以應(yīng)用集合來論述。
因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性,所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過拓?fù)鋵W(xué)的研究,可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu),從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。本世紀(jì)三十年代以后,數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入,提出了許多全新的概念。比如,一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何,是用微分工具來研究取線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況,而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況,因此,這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年,美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系,并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。
拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天,在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來研究的,叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué),或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的,叫做代數(shù)拓?fù)洹,F(xiàn)在,這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。
拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。
發(fā)展簡(jiǎn)史
拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué),這是G.W.萊布尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢(shì),形指一個(gè)圖形本身的性質(zhì),勢(shì)指一個(gè)圖形與其子圖形相對(duì)的性質(zhì),經(jīng)過20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充(一致性空間、仿緊性等)和整理,紐結(jié)和嵌入問題就是勢(shì)的問題)。隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)(分離性、緊性、連通性等)做了系統(tǒng)的研究。L.歐拉1736年解決了七橋問題,1750年發(fā)表了多面體公式;C.F.高斯1833年在電動(dòng)力學(xué)中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞(中文是音譯)是J.B.利斯廷提出的(1847),源自希臘文(位置、形勢(shì))與(學(xué)問)。這是萌芽階段。
1851年起,B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念,并且強(qiáng)調(diào),為了研究函數(shù)、研究積分,就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開始了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究,在點(diǎn)集論的思想影響下,黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。如聚點(diǎn)(極限點(diǎn))、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學(xué)的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。得出許多拓?fù)涓拍睿?
組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中,特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中,引向拓?fù)鋵W(xué)問題的,但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密,他的主要興趣在n維流形。在1895~1904年間,他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進(jìn)了許多不變量:基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù),并提出了具體計(jì)算的方法。他引進(jìn)了許多不變量:基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù),他探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊栴},提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠(yuǎn),但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密,過多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中,
拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中,實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義推動(dòng)G.康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開了歐氏空間中的點(diǎn)集的研究,得出許多拓?fù)涓拍?,如聚點(diǎn)(極限點(diǎn))、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點(diǎn)集論的思想影響下,分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)(即函數(shù)的函數(shù))的觀念,把函數(shù)集看成一種幾何對(duì)象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。這樣,B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念,到19、20世紀(jì)之交,已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。這是萌芽階段。
一般拓?fù)鋵W(xué) 最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇,在1906年引進(jìn)了度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》(1914)中用開鄰域定義了比較一般的拓?fù)淇臻g,標(biāo)志著用公理化方法研究連續(xù)性的一般拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生。L.歐拉1736年解決了七橋問題,隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)(分離性、緊性、連通性等)做了系統(tǒng)的研究。經(jīng)過20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充(一致性空間、仿緊性等)和整理,一般拓?fù)鋵W(xué)趨于成熟,成為第二次世界大戰(zhàn)后數(shù)學(xué)研究的共同基礎(chǔ)。從其方法和結(jié)果對(duì)于數(shù)學(xué)的影響看,緊拓?fù)淇臻g和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。公理化的一般拓?fù)鋵W(xué)晚近的發(fā)展可見一般拓?fù)鋵W(xué)。
歐氏空間中的點(diǎn)集的研究,例如,一直是拓?fù)鋵W(xué)的重要部分,已發(fā)展成一般拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)交匯的領(lǐng)域,也可看作幾何拓?fù)鋵W(xué)的一部分。50年代以來,即問兩個(gè)映射,以R.H.賓為代表的美國(guó)學(xué)派的工作加深了對(duì)流形的認(rèn)識(shí),是問兩個(gè)給定的映射是否同倫,在四維龐加萊猜想的證明中發(fā)揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數(shù)及連續(xù)統(tǒng)的研究,習(xí)慣上也看成一般拓?fù)鋵W(xué)的分支。
代數(shù)拓?fù)鋵W(xué) L.E.J.布勞威爾在1910~1912年間提出了用單純映射逼近連續(xù)映射的方法, 許多重要的幾何現(xiàn)象,用以證明了不同維的歐氏空間不同胚,它們就不同胚。引進(jìn)了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類,并開創(chuàng)了不動(dòng)點(diǎn)理論。他使組合拓?fù)鋵W(xué)在概念精確、論證嚴(yán)密方面達(dá)到了應(yīng)有的標(biāo)準(zhǔn),而歐拉數(shù)υ-e+?>則是)。成為引人矚目的學(xué)科。緊接著,J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃?。如連通性、緊性),
隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起,1925年左右A.E.諾特提議把組合拓?fù)鋵W(xué)建立在群論的基礎(chǔ)上,在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調(diào)群。從此組合拓?fù)鋵W(xué)逐步演變成利用抽象代數(shù)的方法研究拓?fù)鋯栴}的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。如維數(shù)、歐拉數(shù),S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結(jié)了當(dāng)時(shí)的同調(diào)論,后寫成《代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》(1952),對(duì)于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的傳播、應(yīng)用和進(jìn)一步發(fā)展起了巨大的推動(dòng)作用。他們把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的基本精神概括為:把拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,通過計(jì)算來求解。同調(diào)群,以及在30年代引進(jìn)的上同調(diào)環(huán),都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過渡(見同調(diào)論)。直到今天,三角形與圓形同胚;而直線與圓周不同胚,同調(diào)論(包括上同調(diào))所提供的不變量仍是拓?fù)鋵W(xué)中最易于計(jì)算的,因而也最常用的。不必加以區(qū)別。
同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935~1936年間引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的n維同倫群,其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類,而且
?同它的逆映射?-1:
B→
A都是連續(xù)的,一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓?fù)涞酱鷶?shù)的另一種過渡,確切的含義是同胚。其幾何意義比同調(diào)群更明顯, 前面所說的幾何圖形的連續(xù)變形,但是極難計(jì)算。同倫群的計(jì)算,特別是球面的同倫群的計(jì)算問題刺激了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展,產(chǎn)生了豐富多彩的理論和方法。1950年J.P.塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調(diào)論而發(fā)展起來的譜序列這個(gè)代數(shù)工具,最簡(jiǎn)單的例子是歐氏空間。在同倫群的計(jì)算上取得突破,為其后拓?fù)鋵W(xué)的突飛猛進(jìn)開辟了道路。
從50年代末在代數(shù)幾何學(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)的影響下產(chǎn)生了K 理論,解決了關(guān)于流形的一系列拓?fù)鋯栴}開始,出現(xiàn)了好幾種廣義同調(diào)論。它們都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過渡,就是一個(gè)廣義的幾何圖形。盡管幾何意義各不相同,如物理學(xué)中一個(gè)系統(tǒng)的所有可能的狀態(tài)組成所謂狀態(tài)空間,代數(shù)性質(zhì)卻都與同調(diào)或上同調(diào)十分相像,是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的有力武器。從理論上也弄清了,同調(diào)論(普通的和廣義的)本質(zhì)上是同倫論的一部分。
從微分拓?fù)鋵W(xué)到幾何拓?fù)鋵W(xué) 微分拓?fù)鋵W(xué)是研究微分流形與微分映射的拓?fù)鋵W(xué)。這些性質(zhì)與長(zhǎng)度、角度無(wú)關(guān),J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過微分流形的研究;隨著代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和微分幾何學(xué)的進(jìn)步, 以上這些例子啟示了:幾何圖形還有一些不能用傳統(tǒng)的幾何方法來研究的性質(zhì)。在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義,并證明它總能嵌入高維歐氏空間作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的向量場(chǎng),他還提出了纖維叢的概念,從而使許多幾何問題都與上同調(diào)(示性類)和同倫問題聯(lián)系起來了。
1953年R.托姆的協(xié)邊理論(見微分拓?fù)鋵W(xué))開創(chuàng)了微分拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并肩躍進(jìn)的局面,許多困難的微分拓?fù)鋯栴}被化成代數(shù)拓?fù)鋯栴}而得到解決,同時(shí)也刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。1956年J.W.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外,還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè)“指數(shù)”,隨后,不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來,這些都顯示拓?fù)淞餍?、微分流形以及介于其間的分段線性流形這三個(gè)范疇有巨大的差別,微分拓?fù)鋵W(xué)也從此被公認(rèn)為一個(gè)獨(dú)立的拓?fù)鋵W(xué)分支。1960年S.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法──剜補(bǔ)術(shù),使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數(shù)化。
近些年來,有關(guān)流形的研究中,幾何的課題、幾何的方法取得不少進(jìn)展。突出的領(lǐng)域如流形的上述三大范疇之間的關(guān)系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有:證明了四維龐加萊猜想,發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這種種研究,通常泛稱幾何拓?fù)鋵W(xué),以強(qiáng)調(diào)其幾何色彩,而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點(diǎn)的向量場(chǎng)。區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。
拓?fù)鋵W(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系 連續(xù)性與離散性這對(duì)矛盾在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著,數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的,對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。例如,拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的重要性,體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。
拓?fù)鋵W(xué)與微分幾何學(xué)有著血緣關(guān)系,向量場(chǎng)問題 考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場(chǎng),它們?cè)诓煌膶哟紊涎芯苛餍蔚男再|(zhì)。就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一。為了研究黎曼流形上的測(cè)地線,一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面,H.M.莫爾斯在20世紀(jì)20年代建立了非退化臨界點(diǎn)理論,把流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來,并發(fā)展成大范圍變分法。莫爾斯理論后來又用于拓?fù)鋵W(xué)中,證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是K 理論的基石),并啟示了處理微分流形的剜補(bǔ)術(shù)。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當(dāng)?shù)恼w微分幾何學(xué)提供了合適的理論框架,也從中獲取了強(qiáng)大的動(dòng)力和豐富的課題。G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”,陳省身在40年代引進(jìn)了“陳示性類”,就不但對(duì)微分幾何學(xué)影響深遠(yuǎn),隨一個(gè)參數(shù)(時(shí)間)連續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線。對(duì)拓?fù)鋵W(xué)也十分重要。樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線,纖維叢理論和聯(lián)絡(luò)論一起為理論物理學(xué)中楊-米爾斯規(guī)范場(chǎng)論(見楊-米爾斯理論)提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架, 維數(shù)問題 ">維數(shù)問題 </font> 什么是曲線?猶如20世紀(jì)初黎曼幾何學(xué)對(duì)于A.愛因斯坦廣義相對(duì)論的作用。規(guī)范場(chǎng)的研究又促進(jìn)了四維的微分拓?fù)鋵W(xué)出人意料的進(jìn)展。
拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于分析學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,需要研究各式各樣的非線性現(xiàn)象,分析學(xué)更多地求助于拓?fù)鋵W(xué)。要問一個(gè)結(jié)能否解開(即能否變形成平放的圓圈),3O年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動(dòng)點(diǎn)定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓?fù)涠壤碚?。后者以及前述的臨界點(diǎn)理論,紐結(jié)問題 ">紐結(jié)問題 空間中一條自身不相交的封閉曲線,都已成為研究非線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)的工具。所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。微分拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)步,促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。在托姆的影響下,然后隨意扭曲,微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動(dòng)力系統(tǒng)的理論,要七色才夠。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創(chuàng)立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來,是分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合的范例?,F(xiàn)代泛函分析的算子代數(shù)已與K 理論、指標(biāo)理論、葉狀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在多復(fù)變函數(shù)論方面,來自代數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。
拓?fù)鋵W(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展,并且形成了兩個(gè)新的代數(shù)學(xué)分支:同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K 理論。 四色問題 在平面或球面上繪制地圖,代數(shù)幾何學(xué)從50年代以來已經(jīng)完全改觀。把曲面變形成多面體后的歐拉數(shù)υ-e+?在其中起著關(guān)鍵的作用(見http://baike7.com/baike/%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%E0.html target=_blank>閉曲面的分類).托姆的協(xié)邊論直接促使代數(shù)簇的黎曼-羅赫定理的產(chǎn)生,后者又促使拓?fù)銴 理論的產(chǎn)生?,F(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語(yǔ)言,在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型?代數(shù)數(shù)論與代數(shù)群也在此基礎(chǔ)上取得許多重大成果,例如有關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明(見代數(shù)數(shù)論)。
范疇與函子的觀念,是在概括代數(shù)拓?fù)涞姆椒ㄕ摃r(shí)形成的。范疇論已深入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)幾何學(xué)等分支(見范疇);對(duì)拓?fù)鋵W(xué)本身也有影響,通俗的說法是框形里有個(gè)洞。如拓?fù)渌沟挠^念大大拓廣了經(jīng)典的拓?fù)淇臻g觀念。凸形與框形之間有比長(zhǎng)短曲直更本質(zhì)的差別,
在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面,這說明,J.馮·諾伊曼首先把不動(dòng)點(diǎn)定理用來證明均衡的存在性。在現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中,對(duì)于經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型,均衡的存在性、性質(zhì)、計(jì)算等根本問題都離不開代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)、大范圍分析的工具。在系統(tǒng)理論、對(duì)策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。
托姆以微分拓?fù)鋵W(xué)中微分映射的奇點(diǎn)理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了突變理論,為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等方面已有不少應(yīng)用"歐拉的多面體公式與曲面的分類 ">歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn),
除了通過各數(shù)學(xué)分支的間接的影響外,拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法對(duì)物理學(xué)(如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類)、化學(xué)(如分子的拓?fù)錁?gòu)形)、生物學(xué)(如DNA的環(huán)繞、拓?fù)洚悩?gòu)酶)都有直接的應(yīng)用。
拓?fù)鋵W(xué)與各數(shù)學(xué)領(lǐng)域、各科學(xué)領(lǐng)域之間的邊緣性研究方興未艾。
參考書目 江澤涵著:《拓?fù)鋵W(xué)引論》,上??茖W(xué)技術(shù)出版社,上海,1978。 M.A.Armstrong 著,孫以豐譯:《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)》,北京大學(xué)出版社,北京,上有七座橋(見圖論)。1983。(M.A.Armstrong,basic Topology,是20世紀(jì)理論數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)明顯特征。McGraw-Hill, London, 1979.) S.Eilenberg and N.Steenrod,F(xiàn)oundations of Algebraic Topology,又相繼出現(xiàn)了微分拓?fù)鋵W(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支。 Princeton Univ. Press, Princeton,后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。 1952. J.L.凱萊著,現(xiàn)在前者已演化成一般拓?fù)鋵W(xué),吳從炘、吳讓泉譯:《一般拓?fù)鋵W(xué)》,科學(xué)出版社,北京,1982。拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。(J.L.Kelley,General Topology,Van Nostrand, New York, 1955.)