學(xué)科起源
有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。譬如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。
七橋問(wèn)題
主條目：七橋問(wèn)題
哥尼斯堡是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單又很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。
1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。[1]
歐拉定理
在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。
根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
四色問(wèn)題
主條目：四色猜想
著名的“四色問(wèn)題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題，又稱四色猜想。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)發(fā)現(xiàn)：每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。
1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書面證明方法。
學(xué)科簡(jiǎn)介
Topology原意為地貌，起源于希臘語(yǔ)Τοπολογ。形式上講，拓?fù)鋵W(xué)主要研究“拓?fù)淇臻g”在“連續(xù)變換”下保持不變的性質(zhì)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，拓?fù)鋵W(xué)是研究連續(xù)性和連通性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。
拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀(jì)中期，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在復(fù)變函數(shù)的研究中強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開(kāi)始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究。
等價(jià)
在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，圓和方形、三角形的形狀、大小不同，但在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形；足球和橄欖球，也是等價(jià)的----從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是完全一樣的。
而游泳圈的表面和足球的表面則有不同的拓?fù)湫再|(zhì)，比如游泳圈中間有個(gè)“洞”。在拓?fù)鋵W(xué)中，足球所代表的空間叫做球面，游泳圈所代表的空間叫環(huán)面，球面和環(huán)面是“不同”的空間。
性質(zhì)
“連通性”最簡(jiǎn)單的拓?fù)湫再|(zhì)。上面所舉的空間的例子都是連通的。而“可定向性”是一個(gè)不那么平凡的性質(zhì)。我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。這樣的空間是可定向的。而德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面不能用不同的顏色來(lái)涂滿。莫比烏斯曲面是一種“不可定向的”空間?？啥ㄏ蛐允且环N拓?fù)湫再|(zhì)。這意味著，不可能把一個(gè)不可定向的空間連續(xù)的變換成一個(gè)可定向的空間。
發(fā)展簡(jiǎn)史
萌芽
拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，這是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨1679年提出的名詞。歐拉在1736年解決了七橋問(wèn)題，1750年發(fā)表了多面體公式；高斯1833年在電動(dòng)力學(xué)中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。Topology這個(gè)詞是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文τ?πο?和λ?γο?（“位置”和“研究”）。這是拓?fù)鋵W(xué)的萌芽階段。
1851年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在復(fù)變函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強(qiáng)調(diào)為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問(wèn)題。
組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓?fù)鋵W(xué)問(wèn)題的。他的主要興趣在流形。在1895～1904年間，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊?wèn)題，提出了著名的龐加萊猜想。
拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義推動(dòng)康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開(kāi)了歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，得出許多拓?fù)涓拍?，如聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）、開(kāi)集、閉集、稠密性、連通性等。在點(diǎn)集論的思想影響下，分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函（即函數(shù)的函數(shù)）的觀念，把函數(shù)集看成一種幾何對(duì)象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。
一般
最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇。他在19
06年引進(jìn)了度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開(kāi)鄰域定義了比較一般的拓?fù)淇臻g，標(biāo)志著用公理化方法研究連續(xù)性的一般拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生。隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對(duì)拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。經(jīng)過(guò)20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓?fù)鋵W(xué)趨于成熟，成為第二次世界大戰(zhàn)后數(shù)學(xué)研究的共同基礎(chǔ)。
歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，例如，一直是拓?fù)鋵W(xué)的重要部分，已發(fā)展成一般拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)交匯的領(lǐng)域，也可看作幾何拓?fù)鋵W(xué)的一部分。50年代以來(lái)，即問(wèn)兩個(gè)映射，以R.H.賓為代表的美國(guó)學(xué)派的工作加深了對(duì)流形的認(rèn)識(shí)，是問(wèn)兩個(gè)給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發(fā)揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數(shù)及連續(xù)統(tǒng)的研究，習(xí)慣上也看成一般拓?fù)鋵W(xué)的分支。
代數(shù)
L.E.J.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續(xù)映射的方法， 許多重要的幾何現(xiàn)象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進(jìn)了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，并開(kāi)創(chuàng)了不動(dòng)點(diǎn)理論。他使組合拓?fù)鋵W(xué)在概念精確、論證嚴(yán)密方面達(dá)到了應(yīng)有的標(biāo)準(zhǔn)。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃浴?/div>
隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓?fù)鋵W(xué)建立在群論的基礎(chǔ)上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調(diào)群。從此組合拓?fù)鋵W(xué)逐步演變成利用抽象代數(shù)的方法研究拓?fù)鋯?wèn)題的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。如維數(shù)、歐拉數(shù)，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結(jié)了當(dāng)時(shí)的同調(diào)論，后寫成《代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)》(1952)，對(duì)于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的傳播、應(yīng)用和進(jìn)一步發(fā)展起了巨大的推動(dòng)作用。他們把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的基本精神概括為：把拓?fù)鋯?wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算來(lái)求解。直到今天，同調(diào)論所提供的不變量仍是拓?fù)鋵W(xué)中最易于計(jì)算和最常用的不變量[2]。
論研究
同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935～1936年間引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，一維同倫群就是基本群。同倫群提供了從拓?fù)涞酱鷶?shù)的另一種過(guò)渡，其幾何意義比同調(diào)群更明顯，但是極難計(jì)算。同倫群的計(jì)算，特別是球面的同倫群的計(jì)算問(wèn)題刺激了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了豐富多彩的理論和方法。1950年法國(guó)數(shù)學(xué)家塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調(diào)論而發(fā)展起來(lái)的譜序列這個(gè)代數(shù)工具，在同倫群的計(jì)算上取得突破。
從50年代末在代數(shù)幾何學(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)的影響下產(chǎn)生了K理論，以及其他幾種廣義同調(diào)論。它們都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過(guò)渡。盡管幾何意義各不相同，代數(shù)性質(zhì)卻都與同調(diào)或上同調(diào)十分相像，是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的有力武器。從理論上也弄清了，同調(diào)論（普通的和廣義的）本質(zhì)上是同倫論的一部分。
微分幾何
微分拓?fù)涫茄芯课⒎至餍闻c可微映射的拓?fù)鋵W(xué)。隨著代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚倪M(jìn)步，在30年代重新興起。H·惠特尼（H. Whitney）在1935年給出了微分流形的一般定義，并證明它總能嵌入高維歐氏空間。為了研究微分流形上的向量場(chǎng)，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問(wèn)題都與同調(diào)（示性類）和同倫問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)了。
1953年R·托姆（Rene Thom）的配邊理論開(kāi)創(chuàng)了微分拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并肩躍進(jìn)的局面，許多困難的微分拓?fù)鋯?wèn)題被化成代數(shù)拓?fù)鋯?wèn)題而得到解決，同時(shí)也刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。1956年米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。隨后，不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來(lái)，這些都顯示拓?fù)淞餍?、微分流形以及介于其間的分段線性流形這三個(gè)范疇有巨大的差別，微分拓?fù)鋵W(xué)也從此被公認(rèn)為一個(gè)獨(dú)立的拓?fù)鋵W(xué)分支。1960年斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。[3]J.W.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法──剜補(bǔ)術(shù)，使五維以上流形的分類問(wèn)題亦逐步趨向代數(shù)化。
近些年來(lái)，有關(guān)流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進(jìn)展。突出的領(lǐng)域如流形的上述三大范疇之間的關(guān)系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間存在不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這種種研究，通常泛稱幾何拓?fù)鋵W(xué)，以強(qiáng)調(diào)其幾何色彩，區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。
學(xué)科影響
連續(xù)性與離散性這對(duì)矛盾在自然現(xiàn)象與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在著，數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。例如，拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、實(shí)分析、群論、微分幾何、微分方程其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。
微分幾何
拓?fù)鋵W(xué)與微分幾何學(xué)有著血緣關(guān)系，它們?cè)诓煌膶哟紊涎芯苛餍蔚男再|(zhì)。為了研究黎曼流形上的測(cè)地線，H.M.摩爾斯在20世紀(jì)20年代建立了非退化臨界點(diǎn)理論（摩爾斯理論），把流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來(lái)，并發(fā)展成大范圍變分法。莫爾斯理論后來(lái)又用于拓?fù)鋵W(xué)中，證明了典型群的同倫群的博特周期性定理，并啟示了處理微分流形的剜補(bǔ)術(shù)。微分流形、纖維叢、示性類給E·嘉當(dāng)?shù)恼w微分幾何學(xué)提供了合適的理論框架，也從中獲取了強(qiáng)大的動(dòng)力和豐富的課題。陳省身在40年代引進(jìn)了“陳示性類”，就不但對(duì)微分幾何學(xué)影響深遠(yuǎn)，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)也十分重要。纖維叢理論和聯(lián)絡(luò)論一起為理論物理學(xué)中楊－米爾斯規(guī)范場(chǎng)理論提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架， 猶如20世紀(jì)初黎曼幾何學(xué)對(duì)于A.愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的作用。規(guī)范場(chǎng)的研究又促進(jìn)了四維的微分拓?fù)鋵W(xué)出人意料的進(jìn)展。
分析學(xué)
拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于分析學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，需要研究各式各樣的非線性現(xiàn)象，分析學(xué)更多地求助于拓?fù)鋵W(xué)。要問(wèn)一個(gè)結(jié)能否解開(kāi)（即能否變形成平放的圓圈），3O年代J.勒雷和J.P.紹德?tīng)柊袻.E.J.布勞威爾的不動(dòng)點(diǎn)定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓?fù)涠壤碚?。后者以及前述的臨界點(diǎn)理論，都已成為研究非線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)的工具。微分拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)步，促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。在托姆的影響下，然后隨意扭曲，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。S.斯梅爾在60年代初開(kāi)始的微分動(dòng)力系統(tǒng)的理論。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創(chuàng)立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來(lái)，是分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合的范例。現(xiàn)代泛函分析的算子代數(shù)已與K理論、指標(biāo)理論、葉狀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在多復(fù)變函數(shù)論方面，來(lái)自代數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。
抽象代數(shù)
拓?fù)鋵W(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，并且形成了兩個(gè)新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K理論。代數(shù)幾何學(xué)從50年代以來(lái)已經(jīng)完全改觀。托姆的配邊理論直接促使代數(shù)簇的黎曼－羅赫定理的產(chǎn)生，后者又促使拓?fù)銴 理論的產(chǎn)生?，F(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語(yǔ)言，代數(shù)數(shù)論與代數(shù)群也在此基礎(chǔ)上取得許多重大成果，例如有關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和莫德?tīng)柌孪氲淖C明。范疇與函子的觀念，是在概括代數(shù)拓?fù)涞姆椒ㄕ摃r(shí)形成的。范疇論已深入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)幾何學(xué)等分支，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)本身也有影響。如拓?fù)渌沟挠^念大大拓廣了經(jīng)典的拓?fù)淇臻g觀念。
經(jīng)濟(jì)學(xué)
在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，馮·諾伊曼首先把不動(dòng)點(diǎn)定理用來(lái)證明均衡的存在性。在現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對(duì)于經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型，均衡的存在性、性質(zhì)、計(jì)算等根本問(wèn)題都離不開(kāi)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)、大范圍分析的工具。在系統(tǒng)理論、對(duì)策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。
其他學(xué)科
托姆以微分拓?fù)鋵W(xué)中微分映射的奇點(diǎn)理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了突變理論，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語(yǔ)言學(xué)等方面已有不少應(yīng)用。除了通過(guò)各數(shù)學(xué)分支的間接的影響外，拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法對(duì)物理學(xué)(如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類)、化學(xué)（如分子的拓?fù)錁?gòu)形）、生物學(xué)(如DNA的環(huán)繞、拓?fù)洚悩?gòu)酶)都有直接的應(yīng)用。
初等實(shí)例
除去七橋問(wèn)題，四色問(wèn)題，歐拉定理等，拓?fù)鋵W(xué)中還有很多有趣并且很基本的問(wèn)題。
紐結(jié)問(wèn)題
空間中一條自身不相交的封閉曲線，會(huì)發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象。要問(wèn)一個(gè)結(jié)能否解開(kāi)（即能否變形成平放的圓圈），或者問(wèn)兩個(gè)結(jié)能否互變，并且不只做個(gè)模型試試，還要給出證明，那就遠(yuǎn)不是件容易的事了（見(jiàn)紐結(jié)理論）。
維數(shù)概念
什么是曲線？樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線，隨一個(gè)參數(shù)（時(shí)間）連續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線?？墒?，皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，它填滿整個(gè)正方形！這激發(fā)了關(guān)于維數(shù)概念的深入探討，經(jīng)過(guò)20～30年才取得關(guān)鍵性的突破。
向量場(chǎng)問(wèn)題
考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場(chǎng)，即在曲面的每一點(diǎn)放一個(gè)與曲面相切的向量，并且其分布是連續(xù)的，其中向量等于0的地方叫作奇點(diǎn)。例如，地球表面上每點(diǎn)的風(fēng)速向量就組成一個(gè)隨時(shí)間變化的切向量場(chǎng)，而奇點(diǎn)就是當(dāng)時(shí)沒(méi)風(fēng)的地方。從直觀經(jīng)驗(yàn)看出，球面上的連續(xù)切向量場(chǎng)一定有奇點(diǎn)，而環(huán)面上卻可以造出沒(méi)有奇點(diǎn)的向量場(chǎng)。 進(jìn)一步分析，每個(gè)奇點(diǎn)有一個(gè)“指數(shù)”，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)，動(dòng)點(diǎn)處的向量轉(zhuǎn)的圈數(shù)；此指數(shù)有正負(fù)，視動(dòng)點(diǎn)繞行方向與向量轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同或相反而定。球面上切向量場(chǎng)，只要奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的，這些奇點(diǎn)的指數(shù)的代數(shù)和（正負(fù)要相消）恒等于2；而環(huán)面上的則恒等于0。這2與0恰是那兩個(gè)曲面的歐拉數(shù)，這不是偶然的巧合。這是拓?fù)鋵W(xué)中的龐加萊-霍普夫定理。
不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
考慮一個(gè)曲面到自身的連續(xù)變換（映射），即曲面的每一點(diǎn)被移到該曲面上的新的位置，連續(xù)是指互相鄰近的點(diǎn)被移到互相鄰近的點(diǎn)，新舊位置相同的點(diǎn)叫作這變換的不動(dòng)點(diǎn)。隨后，每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè)“指數(shù)”，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)家們發(fā)現(xiàn)，曲面到自身的映射的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)如果是有限的，它們的指數(shù)的代數(shù)和不會(huì)因?qū)@映射做細(xì)微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特征計(jì)算出來(lái)。特別是對(duì)于實(shí)心圓上的映射，指數(shù)和恒為1，所以實(shí)心圓到自身的映射總有不動(dòng)點(diǎn)。
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