射影定理
直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜邊ab上的高，則有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等積式 (4)ACXBC=ABXCD（可用面積來證明）
所謂射影，就是燈光投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。[1]
公式: 如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：射影定理
（1）BD2=AD·DC，（2）AB2=AD·AC ，（3）BC2=CD·CA。
等積式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面積法”或相似來證明） (5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]
直角三角形射影定理的證明
射影定理簡圖(幾何畫板)
：（主要是從三角形的相似比推算來的） 一、
在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD2=AD·DC。其余同理可得可證[1]
AB2=AD·AC，BC2=CD·CA
兩式相加得：
AB2+BC2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC2 .
即勾股定理。[1] 注： AB2的意思是AB的2次方
已知:三角形中角A=90度,AD是高.
證明1：設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可證其余。
證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可證其它的。
∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,
∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD2=BD×CD.
運(yùn)用此結(jié)論可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進(jìn)行證明。[1]
任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：
△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有
a=b·cosC+c·cosB，
b=c·cosA+a·cosC，
c=a·cosB+b·cosA。
注：以“a=b·cosC+c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
面積射影定理：“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積S乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦?！?/p>
COSθ=S射影/S原
(平面多邊形及其射影的面積分別是S原,S射影,它們所在平面所成銳二面角的為θ)
證明思路：因?yàn)樯溆熬褪菍⒃瓐D形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因?yàn)槠矫娑噙呅蔚拿娣e比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。那么這個比值應(yīng)該是平面所成角的余弦值。在兩平面中作一直角三角形，并使斜邊和一直角邊垂直于棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那么三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個比值放到該平面三角形中去運(yùn)算，即可。
